Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61020 / 57867
↖ ↑ ↗
← S 79.697996°
E155.192871°		 ← 109.23 m → S 79.697996°
E155.198364°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
S 79.698978°
E155.192871°		 ← 109.22 m →
11 927 m²		 S 79.698978°
E155.198364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931098937988281 y=0.882987976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931098937988281 × 216)
    floor (0.931098937988281 × 65536)
    floor (61020.5)     		tx = 61020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882987976074219 × 216)
    floor (0.882987976074219 × 65536)
    floor (57867.5)     		ty = 57867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61020 / 57867 ti = "16/61020/57867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61020/57867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61020 ÷ 216
    61020 ÷ 65536     		x = 0.93109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57867 ÷ 216
    57867 ÷ 65536     		y = 0.882980346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93109130859375 × 2 - 1) × π
    0.8621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70862658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882980346679688 × 2 - 1) × π
    -0.765960693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40633648712758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70862658} λ = 2.70862658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40633648712758))-π/2
    2×atan(0.0901449375169519)-π/2
    2×0.0899019452846326-π/2
    0.179803890569265-1.57079632675     		φ = -1.39099244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70862658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39099244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.697996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61020 KachelY 57867 2.70862658 -1.39099244 155.192871 -79.697996
    Oben rechts KachelX + 1 61021 KachelY 57867 2.70872245 -1.39099244 155.198364 -79.697996
    Unten links KachelX 61020 KachelY + 1 57868 2.70862658 -1.39100958 155.192871 -79.698978
    Unten rechts KachelX + 1 61021 KachelY + 1 57868 2.70872245 -1.39100958 155.198364 -79.698978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39099244--1.39100958) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dl = 109.198939999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39099244--1.39100958) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dr = 109.198939999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70862658-2.70872245) × cos(-1.39099244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178836625244374 × 6371000     		do = 109.231223527335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70862658-2.70872245) × cos(-1.39100958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178819761535749 × 6371000     		du = 109.22092338035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39099244)-sin(-1.39100958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178836625244374-0.178819761535749)×R²
    abs(2.70872245-2.70862658)×1.68637086250256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68637086250256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68637086250256e-05×40589641000000     		ar = 11927.3714416357m²