Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61019 / 57883
↖ ↑ ↗
← S 79.713702°
E155.187378°		 ← 109.08 m → S 79.713702°
E155.192871°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 79.714683°
E155.187378°		 ← 109.07 m →
11 897 m²		 S 79.714683°
E155.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931083679199219 y=0.883232116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931083679199219 × 216)
    floor (0.931083679199219 × 65536)
    floor (61019.5)     		tx = 61019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883232116699219 × 216)
    floor (0.883232116699219 × 65536)
    floor (57883.5)     		ty = 57883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61019 / 57883 ti = "16/61019/57883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61019/57883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61019 ÷ 216
    61019 ÷ 65536     		x = 0.931076049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57883 ÷ 216
    57883 ÷ 65536     		y = 0.883224487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931076049804688 × 2 - 1) × π
    0.862152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70853070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883224487304688 × 2 - 1) × π
    -0.766448974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40787046791542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70853070} λ = 2.70853070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40787046791542))-π/2
    2×atan(0.0900067629203628)-π/2
    2×0.0897648827667579-π/2
    0.179529765533516-1.57079632675     		φ = -1.39126656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70853070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.187378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39126656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.713702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61019 KachelY 57883 2.70853070 -1.39126656 155.187378 -79.713702
    Oben rechts KachelX + 1 61020 KachelY 57883 2.70862658 -1.39126656 155.192871 -79.713702
    Unten links KachelX 61019 KachelY + 1 57884 2.70853070 -1.39128368 155.187378 -79.714683
    Unten rechts KachelX + 1 61020 KachelY + 1 57884 2.70862658 -1.39128368 155.192871 -79.714683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39126656--1.39128368) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dl = 109.071519999175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39126656--1.39128368) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dr = 109.071519999175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70853070-2.70862658) × cos(-1.39126656) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17856691767645 × 6371000     		do = 109.077865941626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70853070-2.70862658) × cos(-1.39128368) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178550072806865 × 6371000     		du = 109.06757622811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39126656)-sin(-1.39128368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17856691767645-0.178550072806865)×R²
    abs(2.70862658-2.70853070)×1.68448695841428e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68448695841428e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68448695841428e-05×40589641000000     		ar = 11896.7274796973m²