Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61019 / 33945
↖ ↑ ↗
← N 65.191098°
W 12.406311°		 ← 128.15 m → N 65.191098°
W 12.403565°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 65.189946°
W 12.406311°		 ← 128.16 m →
16 420 m²		 N 65.189946°
W 12.403565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465541839599609 y=0.258983612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465541839599609 × 217)
    floor (0.465541839599609 × 131072)
    floor (61019.5)     		tx = 61019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258983612060547 × 217)
    floor (0.258983612060547 × 131072)
    floor (33945.5)     		ty = 33945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61019 / 33945 ti = "17/61019/33945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61019/33945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61019 ÷ 217
    61019 ÷ 131072     		x = 0.465538024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33945 ÷ 217
    33945 ÷ 131072     		y = 0.258979797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465538024902344 × 2 - 1) × π
    -0.0689239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21653098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258979797363281 × 2 - 1) × π
    0.482040405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51437459589719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21653098} λ = -0.21653098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51437459589719))-π/2
    2×atan(4.54657678973028)-π/2
    2×1.35429781868506-π/2
    2.70859563737011-1.57079632675     		φ = 1.13779931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21653098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.406311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13779931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.191098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61019 KachelY 33945 -0.21653098 1.13779931 -12.406311 65.191098
    Oben rechts KachelX + 1 61020 KachelY 33945 -0.21648304 1.13779931 -12.403565 65.191098
    Unten links KachelX 61019 KachelY + 1 33946 -0.21653098 1.13777920 -12.406311 65.189946
    Unten rechts KachelX + 1 61020 KachelY + 1 33946 -0.21648304 1.13777920 -12.403565 65.189946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13779931-1.13777920) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13779931-1.13777920) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21653098--0.21648304) × cos(1.13779931) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.419593111780587 × 6371000     		do = 128.154536664553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21653098--0.21648304) × cos(1.13777920) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.419611365790105 × 6371000     		du = 128.160111908918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13779931)-sin(1.13777920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419593111780587-0.419611365790105)×R²
    abs(-0.21648304--0.21653098)×1.82540095182149e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82540095182149e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82540095182149e-05×40589641000000     		ar = 16419.6201955952m²