Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61018 / 57882
↖ ↑ ↗
← S 79.712721°
E155.181885°		 ← 109.08 m → S 79.712721°
E155.187378°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 79.713702°
E155.181885°		 ← 109.07 m →
11 897 m²		 S 79.713702°
E155.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931068420410156 y=0.883216857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931068420410156 × 216)
    floor (0.931068420410156 × 65536)
    floor (61018.5)     		tx = 61018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883216857910156 × 216)
    floor (0.883216857910156 × 65536)
    floor (57882.5)     		ty = 57882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61018 / 57882 ti = "16/61018/57882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61018/57882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61018 ÷ 216
    61018 ÷ 65536     		x = 0.931060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57882 ÷ 216
    57882 ÷ 65536     		y = 0.883209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931060791015625 × 2 - 1) × π
    0.86212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70843483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.76641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40777459411618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70843483} λ = 2.70843483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40777459411618))-π/2
    2×atan(0.090015392624356)-π/2
    2×0.0897734431148609-π/2
    0.179546886229722-1.57079632675     		φ = -1.39124944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70843483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39124944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.712721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61018 KachelY 57882 2.70843483 -1.39124944 155.181885 -79.712721
    Oben rechts KachelX + 1 61019 KachelY 57882 2.70853070 -1.39124944 155.187378 -79.712721
    Unten links KachelX 61018 KachelY + 1 57883 2.70843483 -1.39126656 155.181885 -79.713702
    Unten rechts KachelX + 1 61019 KachelY + 1 57883 2.70853070 -1.39126656 155.187378 -79.713702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39124944--1.39126656) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39124944--1.39126656) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70843483-2.70853070) × cos(-1.39124944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178583762493697 × 6371000     		do = 109.076778051732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70843483-2.70853070) × cos(-1.39126656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17856691767645 × 6371000     		du = 109.06648944337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39124944)-sin(-1.39126656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178583762493697-0.17856691767645)×R²
    abs(2.70853070-2.70843483)×1.68448172473967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68448172473967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68448172473967e-05×40589641000000     		ar = 11896.608881895m²