Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61018 / 32954
↖ ↑ ↗
← N 66.308828°
W 12.409057°		 ← 122.70 m → N 66.308828°
W 12.406311°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 66.307724°
W 12.409057°		 ← 122.70 m →
15 056 m²		 N 66.307724°
W 12.406311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465534210205078 y=0.251422882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465534210205078 × 217)
    floor (0.465534210205078 × 131072)
    floor (61018.5)     		tx = 61018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251422882080078 × 217)
    floor (0.251422882080078 × 131072)
    floor (32954.5)     		ty = 32954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61018 / 32954 ti = "17/61018/32954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61018/32954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61018 ÷ 217
    61018 ÷ 131072     		x = 0.465530395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32954 ÷ 217
    32954 ÷ 131072     		y = 0.251419067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465530395507812 × 2 - 1) × π
    -0.068939208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21657891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251419067382812 × 2 - 1) × π
    0.497161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56188006342067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21657891} λ = -0.21657891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56188006342067))-π/2
    2×atan(4.7677765465158)-π/2
    2×1.36405184854456-π/2
    2.72810369708912-1.57079632675     		φ = 1.15730737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21657891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.409057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15730737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.308828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61018 KachelY 32954 -0.21657891 1.15730737 -12.409057 66.308828
    Oben rechts KachelX + 1 61019 KachelY 32954 -0.21653098 1.15730737 -12.406311 66.308828
    Unten links KachelX 61018 KachelY + 1 32955 -0.21657891 1.15728811 -12.409057 66.307724
    Unten rechts KachelX + 1 61019 KachelY + 1 32955 -0.21653098 1.15728811 -12.406311 66.307724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15730737-1.15728811) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15730737-1.15728811) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21657891--0.21653098) × cos(1.15730737) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401806690321937 × 6371000     		do = 122.696506624292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21657891--0.21653098) × cos(1.15728811) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401824327101531 × 6371000     		du = 122.701892227111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15730737)-sin(1.15728811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401806690321937-0.401824327101531)×R²
    abs(-0.21653098--0.21657891)×1.76367795935994e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76367795935994e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76367795935994e-05×40589641000000     		ar = 15055.8617076417m²