Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61016 / 57928
↖ ↑ ↗
← S 79.757749°
E155.170898°		 ← 108.60 m → S 79.757749°
E155.176391°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 79.758726°
E155.170898°		 ← 108.59 m →
11 797 m²		 S 79.758726°
E155.176391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931037902832031 y=0.883918762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931037902832031 × 216)
    floor (0.931037902832031 × 65536)
    floor (61016.5)     		tx = 61016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883918762207031 × 216)
    floor (0.883918762207031 × 65536)
    floor (57928.5)     		ty = 57928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61016 / 57928 ti = "16/61016/57928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61016/57928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61016 ÷ 216
    61016 ÷ 65536     		x = 0.9310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57928 ÷ 216
    57928 ÷ 65536     		y = 0.8839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9310302734375 × 2 - 1) × π
    0.862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70824308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70824308} λ = 2.70824308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41218478888123))-π/2
    2×atan(0.0896192813170616)-π/2
    2×0.089380501731203-π/2
    0.178761003462406-1.57079632675     		φ = -1.39203532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70824308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39203532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.757749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61016 KachelY 57928 2.70824308 -1.39203532 155.170898 -79.757749
    Oben rechts KachelX + 1 61017 KachelY 57928 2.70833895 -1.39203532 155.176391 -79.757749
    Unten links KachelX 61016 KachelY + 1 57929 2.70824308 -1.39205237 155.170898 -79.758726
    Unten rechts KachelX + 1 61017 KachelY + 1 57929 2.70833895 -1.39205237 155.176391 -79.758726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39203532--1.39205237) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39203532--1.39205237) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70824308-2.70833895) × cos(-1.39203532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177810460672948 × 6371000     		do = 108.6044547571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70824308-2.70833895) × cos(-1.39205237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177793682343048 × 6371000     		du = 108.594206758396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39203532)-sin(-1.39205237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177810460672948-0.177793682343048)×R²
    abs(2.70833895-2.70824308)×1.6778329900019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6778329900019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6778329900019e-05×40589641000000     		ar = 11796.662033655m²