Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61016 / 40569
↖ ↑ ↗
← N 56.375898°
W 12.414551°		 ← 169.13 m → N 56.375898°
W 12.411804°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 56.374377°
W 12.414551°		 ← 169.13 m →
28 608 m²		 N 56.374377°
W 12.411804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465518951416016 y=0.309520721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465518951416016 × 217)
    floor (0.465518951416016 × 131072)
    floor (61016.5)     		tx = 61016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309520721435547 × 217)
    floor (0.309520721435547 × 131072)
    floor (40569.5)     		ty = 40569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61016 / 40569 ti = "17/61016/40569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61016/40569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61016 ÷ 217
    61016 ÷ 131072     		x = 0.46551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40569 ÷ 217
    40569 ÷ 131072     		y = 0.309516906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.0689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21667479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309516906738281 × 2 - 1) × π
    0.380966186523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.19684057281394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21667479} λ = -0.21667479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19684057281394))-π/2
    2×atan(3.30964380830306)-π/2
    2×1.27737068200837-π/2
    2.55474136401673-1.57079632675     		φ = 0.98394504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21667479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98394504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.375898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61016 KachelY 40569 -0.21667479 0.98394504 -12.414551 56.375898
    Oben rechts KachelX + 1 61017 KachelY 40569 -0.21662685 0.98394504 -12.411804 56.375898
    Unten links KachelX 61016 KachelY + 1 40570 -0.21667479 0.98391849 -12.414551 56.374377
    Unten rechts KachelX + 1 61017 KachelY + 1 40570 -0.21662685 0.98391849 -12.411804 56.374377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98394504-0.98391849) × R
    2.65500000000696e-05 × 6371000     		dl = 169.150050000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98394504-0.98391849) × R
    2.65500000000696e-05 × 6371000     		dr = 169.150050000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21667479--0.21662685) × cos(0.98394504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553741875358017 × 6371000     		do = 169.127022050197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21667479--0.21662685) × cos(0.98391849) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553763983039294 × 6371000     		du = 169.133774305111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98394504)-sin(0.98391849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553741875358017-0.553763983039294)×R²
    abs(-0.21662685--0.21667479)×2.21076812761956e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21076812761956e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21076812761956e-05×40589641000000     		ar = 28608.415309985m²