Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61015 / 57879
↖ ↑ ↗
← S 79.709778°
E155.165405°		 ← 109.11 m → S 79.709778°
E155.170898°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 79.710759°
E155.165405°		 ← 109.10 m →
11 900 m²		 S 79.710759°
E155.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931022644042969 y=0.883171081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931022644042969 × 216)
    floor (0.931022644042969 × 65536)
    floor (61015.5)     		tx = 61015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883171081542969 × 216)
    floor (0.883171081542969 × 65536)
    floor (57879.5)     		ty = 57879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61015 / 57879 ti = "16/61015/57879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61015/57879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61015 ÷ 216
    61015 ÷ 65536     		x = 0.931015014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57879 ÷ 216
    57879 ÷ 65536     		y = 0.883163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931015014648438 × 2 - 1) × π
    0.862030029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70814721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883163452148438 × 2 - 1) × π
    -0.766326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40748697271846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70814721} λ = 2.70814721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40748697271846))-π/2
    2×atan(0.0900412867010657)-π/2
    2×0.0897991290048127-π/2
    0.179598258009625-1.57079632675     		φ = -1.39119807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70814721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.165405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39119807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.709778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61015 KachelY 57879 2.70814721 -1.39119807 155.165405 -79.709778
    Oben rechts KachelX + 1 61016 KachelY 57879 2.70824308 -1.39119807 155.170898 -79.709778
    Unten links KachelX 61015 KachelY + 1 57880 2.70814721 -1.39121519 155.165405 -79.710759
    Unten rechts KachelX + 1 61016 KachelY + 1 57880 2.70824308 -1.39121519 155.170898 -79.710759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39119807--1.39121519) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39119807--1.39121519) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70814721-2.70824308) × cos(-1.39119807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178634306470523 × 6371000     		do = 109.107649694625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70814721-2.70824308) × cos(-1.39121519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178617461810347 × 6371000     		du = 109.0973611822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39119807)-sin(-1.39121519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178634306470523-0.178617461810347)×R²
    abs(2.70824308-2.70814721)×1.68446601762906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68446601762906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68446601762906e-05×40589641000000     		ar = 11899.9761042857m²