Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61015 / 40566
↖ ↑ ↗
← N 56.380461°
W 12.417297°		 ← 169.07 m → N 56.380461°
W 12.414551°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 56.378939°
W 12.417297°		 ← 169.08 m →
28 599 m²		 N 56.378939°
W 12.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465511322021484 y=0.309497833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465511322021484 × 217)
    floor (0.465511322021484 × 131072)
    floor (61015.5)     		tx = 61015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309497833251953 × 217)
    floor (0.309497833251953 × 131072)
    floor (40566.5)     		ty = 40566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61015 / 40566 ti = "17/61015/40566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61015/40566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61015 ÷ 217
    61015 ÷ 131072     		x = 0.465507507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40566 ÷ 217
    40566 ÷ 131072     		y = 0.309494018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465507507324219 × 2 - 1) × π
    -0.0689849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21672272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309494018554688 × 2 - 1) × π
    0.381011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1969843835128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21672272} λ = -0.21672272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1969843835128))-π/2
    2×atan(3.31011980471798)-π/2
    2×1.2774104966276-π/2
    2.55482099325519-1.57079632675     		φ = 0.98402467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21672272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.417297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98402467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.380461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61015 KachelY 40566 -0.21672272 0.98402467 -12.417297 56.380461
    Oben rechts KachelX + 1 61016 KachelY 40566 -0.21667479 0.98402467 -12.414551 56.380461
    Unten links KachelX 61015 KachelY + 1 40567 -0.21672272 0.98399812 -12.417297 56.378939
    Unten rechts KachelX + 1 61016 KachelY + 1 40567 -0.21667479 0.98399812 -12.414551 56.378939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98402467-0.98399812) × R
    2.65500000000696e-05 × 6371000     		dl = 169.150050000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98402467-0.98399812) × R
    2.65500000000696e-05 × 6371000     		dr = 169.150050000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21672272--0.21667479) × cos(0.98402467) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553675566626897 × 6371000     		do = 169.071494986595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21672272--0.21667479) × cos(0.98399812) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553697675478834 × 6371000     		du = 169.078246190504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98402467)-sin(0.98399812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553675566626897-0.553697675478834)×R²
    abs(-0.21667479--0.21672272)×2.21088519375412e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21088519375412e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21088519375412e-05×40589641000000     		ar = 28599.0228156386m²