Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61011 / 34023
↖ ↑ ↗
← N 65.101055°
W 12.428284°		 ← 128.59 m → N 65.101055°
W 12.425537°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
N 65.099898°
W 12.428284°		 ← 128.60 m →
16 533 m²		 N 65.099898°
W 12.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465480804443359 y=0.259578704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465480804443359 × 217)
    floor (0.465480804443359 × 131072)
    floor (61011.5)     		tx = 61011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259578704833984 × 217)
    floor (0.259578704833984 × 131072)
    floor (34023.5)     		ty = 34023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61011 / 34023 ti = "17/61011/34023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61011/34023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61011 ÷ 217
    61011 ÷ 131072     		x = 0.465476989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34023 ÷ 217
    34023 ÷ 131072     		y = 0.259574890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465476989746094 × 2 - 1) × π
    -0.0690460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21691447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259574890136719 × 2 - 1) × π
    0.480850219726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.51063551772683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21691447} λ = -0.21691447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51063551772683))-π/2
    2×atan(4.52960852630662)-π/2
    2×1.35351204057231-π/2
    2.70702408114462-1.57079632675     		φ = 1.13622775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21691447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.428284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13622775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.101055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61011 KachelY 34023 -0.21691447 1.13622775 -12.428284 65.101055
    Oben rechts KachelX + 1 61012 KachelY 34023 -0.21686653 1.13622775 -12.425537 65.101055
    Unten links KachelX 61011 KachelY + 1 34024 -0.21691447 1.13620757 -12.428284 65.099898
    Unten rechts KachelX + 1 61012 KachelY + 1 34024 -0.21686653 1.13620757 -12.425537 65.099898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13622775-1.13620757) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13622775-1.13620757) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21691447--0.21686653) × cos(1.13622775) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421019117380812 × 6371000     		do = 128.590075480172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21691447--0.21686653) × cos(1.13620757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421037421599684 × 6371000     		du = 128.595666059766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13622775)-sin(1.13620757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421019117380812-0.421037421599684)×R²
    abs(-0.21686653--0.21691447)×1.83042188723892e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83042188723892e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83042188723892e-05×40589641000000     		ar = 16532.7713262223m²