Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61009 / 32913
↖ ↑ ↗
← N 66.354035°
W 12.433777°		 ← 122.48 m → N 66.354035°
W 12.431030°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
N 66.352933°
W 12.433777°		 ← 122.48 m →
15 005 m²		 N 66.352933°
W 12.431030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465465545654297 y=0.251110076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465465545654297 × 217)
    floor (0.465465545654297 × 131072)
    floor (61009.5)     		tx = 61009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251110076904297 × 217)
    floor (0.251110076904297 × 131072)
    floor (32913.5)     		ty = 32913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61009 / 32913 ti = "17/61009/32913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61009/32913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61009 ÷ 217
    61009 ÷ 131072     		x = 0.465461730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32913 ÷ 217
    32913 ÷ 131072     		y = 0.251106262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465461730957031 × 2 - 1) × π
    -0.0690765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21701034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251106262207031 × 2 - 1) × π
    0.497787475585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.56384547630509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21701034} λ = -0.21701034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56384547630509))-π/2
    2×atan(4.77715641060382)-π/2
    2×1.36444635141138-π/2
    2.72889270282275-1.57079632675     		φ = 1.15809638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21701034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.433777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15809638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.354035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61009 KachelY 32913 -0.21701034 1.15809638 -12.433777 66.354035
    Oben rechts KachelX + 1 61010 KachelY 32913 -0.21696241 1.15809638 -12.431030 66.354035
    Unten links KachelX 61009 KachelY + 1 32914 -0.21701034 1.15807715 -12.433777 66.352933
    Unten rechts KachelX + 1 61010 KachelY + 1 32914 -0.21696241 1.15807715 -12.431030 66.352933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15809638-1.15807715) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15809638-1.15807715) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21701034--0.21696241) × cos(1.15809638) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401084049529227 × 6371000     		do = 122.475839564869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21701034--0.21696241) × cos(1.15807715) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401101664928446 × 6371000     		du = 122.481218638934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15809638)-sin(1.15807715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401084049529227-0.401101664928446)×R²
    abs(-0.21696241--0.21701034)×1.76153992191841e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76153992191841e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76153992191841e-05×40589641000000     		ar = 15005.3749327282m²