Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61008 / 32463
↖ ↑ ↗
← N 66.844887°
W 12.436523°		 ← 120.10 m → N 66.844887°
W 12.433777°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
N 66.843807°
W 12.436523°		 ← 120.11 m →
14 424 m²		 N 66.843807°
W 12.433777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465457916259766 y=0.247676849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465457916259766 × 217)
    floor (0.465457916259766 × 131072)
    floor (61008.5)     		tx = 61008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247676849365234 × 217)
    floor (0.247676849365234 × 131072)
    floor (32463.5)     		ty = 32463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61008 / 32463 ti = "17/61008/32463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61008/32463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61008 ÷ 217
    61008 ÷ 131072     		x = 0.4654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32463 ÷ 217
    32463 ÷ 131072     		y = 0.247673034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21705828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247673034667969 × 2 - 1) × π
    0.504653930664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.58541708113412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21705828} λ = -0.21705828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58541708113412))-π/2
    2×atan(4.88132686334622)-π/2
    2×1.3687298502024-π/2
    2.7374597004048-1.57079632675     		φ = 1.16666337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21705828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.436523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16666337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.844887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61008 KachelY 32463 -0.21705828 1.16666337 -12.436523 66.844887
    Oben rechts KachelX + 1 61009 KachelY 32463 -0.21701034 1.16666337 -12.433777 66.844887
    Unten links KachelX 61008 KachelY + 1 32464 -0.21705828 1.16664452 -12.436523 66.843807
    Unten rechts KachelX + 1 61009 KachelY + 1 32464 -0.21701034 1.16664452 -12.433777 66.843807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16666337-1.16664452) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16666337-1.16664452) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21705828--0.21701034) × cos(1.16666337) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.393221710877836 × 6371000     		do = 120.10003202892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21705828--0.21701034) × cos(1.16664452) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.393239042321398 × 6371000     		du = 120.105325497895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16666337)-sin(1.16664452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393221710877836-0.393239042321398)×R²
    abs(-0.21701034--0.21705828)×1.73314435621408e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73314435621408e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73314435621408e-05×40589641000000     		ar = 14423.5330371716m²