Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61003 / 83783
↖ ↑ ↗
← S 44.729174°
W 12.450257°		 ← 216.99 m → S 44.729174°
W 12.447510°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
S 44.731126°
W 12.450257°		 ← 216.98 m →
47 085 m²		 S 44.731126°
W 12.447510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465419769287109 y=0.639217376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465419769287109 × 217)
    floor (0.465419769287109 × 131072)
    floor (61003.5)     		tx = 61003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639217376708984 × 217)
    floor (0.639217376708984 × 131072)
    floor (83783.5)     		ty = 83783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61003 / 83783 ti = "17/61003/83783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61003/83783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61003 ÷ 217
    61003 ÷ 131072     		x = 0.465415954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83783 ÷ 217
    83783 ÷ 131072     		y = 0.639213562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465415954589844 × 2 - 1) × π
    -0.0691680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21729797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639213562011719 × 2 - 1) × π
    -0.278427124023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.874704607367165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21729797} λ = -0.21729797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874704607367165))-π/2
    2×atan(0.416985175836846)-π/2
    2×0.395062481436495-π/2
    0.790124962872989-1.57079632675     		φ = -0.78067136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21729797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.450257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78067136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.729174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61003 KachelY 83783 -0.21729797 -0.78067136 -12.450257 -44.729174
    Oben rechts KachelX + 1 61004 KachelY 83783 -0.21725003 -0.78067136 -12.447510 -44.729174
    Unten links KachelX 61003 KachelY + 1 83784 -0.21729797 -0.78070542 -12.450257 -44.731126
    Unten rechts KachelX + 1 61004 KachelY + 1 83784 -0.21725003 -0.78070542 -12.447510 -44.731126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78067136--0.78070542) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78067136--0.78070542) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21729797--0.21725003) × cos(-0.78067136) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710441224163892 × 6371000     		do = 216.987036616746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21729797--0.21725003) × cos(-0.78070542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710417253804073 × 6371000     		du = 216.97971545186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78067136)-sin(-0.78070542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710441224163892-0.710417253804073)×R²
    abs(-0.21725003--0.21729797)×2.39703598191587e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39703598191587e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39703598191587e-05×40589641000000     		ar = 47084.581085919m²