Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61003 / 57915
↖ ↑ ↗
← S 79.745043°
E155.099487°		 ← 108.75 m → S 79.745043°
E155.104981°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
S 79.746021°
E155.099487°		 ← 108.74 m →
11 826 m²		 S 79.746021°
E155.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930839538574219 y=0.883720397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930839538574219 × 216)
    floor (0.930839538574219 × 65536)
    floor (61003.5)     		tx = 61003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883720397949219 × 216)
    floor (0.883720397949219 × 65536)
    floor (57915.5)     		ty = 57915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61003 / 57915 ti = "16/61003/57915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61003/57915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61003 ÷ 216
    61003 ÷ 65536     		x = 0.930831909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57915 ÷ 216
    57915 ÷ 65536     		y = 0.883712768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930831909179688 × 2 - 1) × π
    0.861663818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70699672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883712768554688 × 2 - 1) × π
    -0.767425537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4109384294911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70699672} λ = 2.70699672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4109384294911))-π/2
    2×atan(0.0897310487866163)-π/2
    2×0.0894913775775342-π/2
    0.178982755155068-1.57079632675     		φ = -1.39181357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70699672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.099487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39181357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.745043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61003 KachelY 57915 2.70699672 -1.39181357 155.099487 -79.745043
    Oben rechts KachelX + 1 61004 KachelY 57915 2.70709260 -1.39181357 155.104981 -79.745043
    Unten links KachelX 61003 KachelY + 1 57916 2.70699672 -1.39183064 155.099487 -79.746021
    Unten rechts KachelX + 1 61004 KachelY + 1 57916 2.70709260 -1.39183064 155.104981 -79.746021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39181357--1.39183064) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39181357--1.39183064) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70699672-2.70709260) × cos(-1.39181357) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.178028672658617 × 6371000     		do = 108.749078176384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70699672-2.70709260) × cos(-1.39183064) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.178011875320804 × 6371000     		du = 108.738817497721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39181357)-sin(-1.39183064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178028672658617-0.178011875320804)×R²
    abs(2.70709260-2.70699672)×1.67973378134012e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.67973378134012e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.67973378134012e-05×40589641000000     		ar = 11826.2272971951m²