Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61002 / 83782
↖ ↑ ↗
← S 44.727223°
W 12.453003°		 ← 216.95 m → S 44.727223°
W 12.450257°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
S 44.729174°
W 12.453003°		 ← 216.94 m →
47 063 m²		 S 44.729174°
W 12.450257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465412139892578 y=0.639209747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465412139892578 × 217)
    floor (0.465412139892578 × 131072)
    floor (61002.5)     		tx = 61002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639209747314453 × 217)
    floor (0.639209747314453 × 131072)
    floor (83782.5)     		ty = 83782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61002 / 83782 ti = "17/61002/83782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61002/83782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61002 ÷ 217
    61002 ÷ 131072     		x = 0.465408325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83782 ÷ 217
    83782 ÷ 131072     		y = 0.639205932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465408325195312 × 2 - 1) × π
    -0.069183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21734590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639205932617188 × 2 - 1) × π
    -0.278411865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.874656670467545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21734590} λ = -0.21734590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874656670467545))-π/2
    2×atan(0.417005165292475)-π/2
    2×0.395079509898483-π/2
    0.790159019796966-1.57079632675     		φ = -0.78063731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21734590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.453003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78063731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.727223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61002 KachelY 83782 -0.21734590 -0.78063731 -12.453003 -44.727223
    Oben rechts KachelX + 1 61003 KachelY 83782 -0.21729797 -0.78063731 -12.450257 -44.727223
    Unten links KachelX 61002 KachelY + 1 83783 -0.21734590 -0.78067136 -12.453003 -44.729174
    Unten rechts KachelX + 1 61003 KachelY + 1 83783 -0.21729797 -0.78067136 -12.450257 -44.729174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78063731--0.78067136) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78063731--0.78067136) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21734590--0.21729797) × cos(-0.78063731) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710465186662217 × 6371000     		do = 216.949091643511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21734590--0.21729797) × cos(-0.78067136) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710441224163892 × 6371000     		du = 216.941774406378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78063731)-sin(-0.78067136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710465186662217-0.710441224163892)×R²
    abs(-0.21729797--0.21734590)×2.39624983245923e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39624983245923e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39624983245923e-05×40589641000000     		ar = 47062.5260016727m²