Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61002 / 32967
↖ ↑ ↗
← N 66.294477°
W 12.453003°		 ← 122.77 m → N 66.294477°
W 12.450257°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
N 66.293373°
W 12.453003°		 ← 122.77 m →
15 072 m²		 N 66.293373°
W 12.450257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465412139892578 y=0.251522064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465412139892578 × 217)
    floor (0.465412139892578 × 131072)
    floor (61002.5)     		tx = 61002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251522064208984 × 217)
    floor (0.251522064208984 × 131072)
    floor (32967.5)     		ty = 32967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61002 / 32967 ti = "17/61002/32967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61002/32967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61002 ÷ 217
    61002 ÷ 131072     		x = 0.465408325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32967 ÷ 217
    32967 ÷ 131072     		y = 0.251518249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465408325195312 × 2 - 1) × π
    -0.069183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21734590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251518249511719 × 2 - 1) × π
    0.496963500976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.56125688372561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21734590} λ = -0.21734590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56125688372561))-π/2
    2×atan(4.76480629057915)-π/2
    2×1.36392661393073-π/2
    2.72785322786145-1.57079632675     		φ = 1.15705690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21734590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.453003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15705690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.294477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61002 KachelY 32967 -0.21734590 1.15705690 -12.453003 66.294477
    Oben rechts KachelX + 1 61003 KachelY 32967 -0.21729797 1.15705690 -12.450257 66.294477
    Unten links KachelX 61002 KachelY + 1 32968 -0.21734590 1.15703763 -12.453003 66.293373
    Unten rechts KachelX + 1 61003 KachelY + 1 32968 -0.21729797 1.15703763 -12.450257 66.293373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15705690-1.15703763) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dl = 122.769169999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15705690-1.15703763) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dr = 122.769169999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21734590--0.21729797) × cos(1.15705690) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402036039234581 × 6371000     		do = 122.766541073835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21734590--0.21729797) × cos(1.15703763) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402053683231404 × 6371000     		du = 122.771928880522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15705690)-sin(1.15703763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402036039234581-0.402053683231404)×R²
    abs(-0.21729797--0.21734590)×1.76439968223585e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76439968223585e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76439968223585e-05×40589641000000     		ar = 15072.2770801062m²