Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61001 / 57865
↖ ↑ ↗
← S 79.696031°
E155.088501°		 ← 109.26 m → S 79.696031°
E155.093994°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 79.697014°
E155.088501°		 ← 109.25 m →
11 938 m²		 S 79.697014°
E155.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930809020996094 y=0.882957458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930809020996094 × 216)
    floor (0.930809020996094 × 65536)
    floor (61001.5)     		tx = 61001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882957458496094 × 216)
    floor (0.882957458496094 × 65536)
    floor (57865.5)     		ty = 57865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61001 / 57865 ti = "16/61001/57865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61001/57865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61001 ÷ 216
    61001 ÷ 65536     		x = 0.930801391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57865 ÷ 216
    57865 ÷ 65536     		y = 0.882949829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930801391601562 × 2 - 1) × π
    0.861602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70680497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882949829101562 × 2 - 1) × π
    -0.765899658203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4061447395291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70680497} λ = 2.70680497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4061447395291))-π/2
    2×atan(0.0901622242495277)-π/2
    2×0.0899190926491198-π/2
    0.17983818529824-1.57079632675     		φ = -1.39095814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70680497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.088501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39095814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.696031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61001 KachelY 57865 2.70680497 -1.39095814 155.088501 -79.696031
    Oben rechts KachelX + 1 61002 KachelY 57865 2.70690085 -1.39095814 155.093994 -79.696031
    Unten links KachelX 61001 KachelY + 1 57866 2.70680497 -1.39097529 155.088501 -79.697014
    Unten rechts KachelX + 1 61002 KachelY + 1 57866 2.70690085 -1.39097529 155.093994 -79.697014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39095814--1.39097529) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39095814--1.39097529) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70680497-2.70690085) × cos(-1.39095814) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178870372181457 × 6371000     		do = 109.263231575122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70680497-2.70690085) × cos(-1.39097529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178853498739218 × 6371000     		du = 109.252924407958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39095814)-sin(-1.39097529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178870372181457-0.178853498739218)×R²
    abs(2.70690085-2.70680497)×1.68734422389405e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68734422389405e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68734422389405e-05×40589641000000     		ar = 11937.8271356836m²