Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61000 / 41400
↖ ↑ ↗
← N 55.090943°
W 12.458496°		 ← 174.79 m → N 55.090943°
W 12.455750°		 →
↑
174.76 m
↓
↑
174.76 m
↓
N 55.089372°
W 12.458496°		 ← 174.79 m →
30 546 m²		 N 55.089372°
W 12.455750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465396881103516 y=0.315860748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465396881103516 × 217)
    floor (0.465396881103516 × 131072)
    floor (61000.5)     		tx = 61000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315860748291016 × 217)
    floor (0.315860748291016 × 131072)
    floor (41400.5)     		ty = 41400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61000 / 41400 ti = "17/61000/41400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61000/41400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61000 ÷ 217
    61000 ÷ 131072     		x = 0.46539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41400 ÷ 217
    41400 ÷ 131072     		y = 0.31585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21744178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31585693359375 × 2 - 1) × π
    0.3682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15700500922968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21744178} λ = -0.21744178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15700500922968))-π/2
    2×atan(3.18039374792648)-π/2
    2×1.26615734050765-π/2
    2.5323146810153-1.57079632675     		φ = 0.96151835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21744178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96151835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.090943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61000 KachelY 41400 -0.21744178 0.96151835 -12.458496 55.090943
    Oben rechts KachelX + 1 61001 KachelY 41400 -0.21739384 0.96151835 -12.455750 55.090943
    Unten links KachelX 61000 KachelY + 1 41401 -0.21744178 0.96149092 -12.458496 55.089372
    Unten rechts KachelX + 1 61001 KachelY + 1 41401 -0.21739384 0.96149092 -12.455750 55.089372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96151835-0.96149092) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dl = 174.756529999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96151835-0.96149092) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dr = 174.756529999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21744178--0.21739384) × cos(0.96151835) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.572275505940087 × 6371000     		do = 174.787669885612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21744178--0.21739384) × cos(0.96149092) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.572298000009757 × 6371000     		du = 174.794540153487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96151835)-sin(0.96149092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572275505940087-0.572298000009757)×R²
    abs(-0.21739384--0.21744178)×2.24940696691434e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24940696691434e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24940696691434e-05×40589641000000     		ar = 30545.88698991m²