Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60999 / 57938
↖ ↑ ↗
← S 79.767512°
E155.077515°		 ← 108.50 m → S 79.767512°
E155.083008°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 79.768488°
E155.077515°		 ← 108.49 m →
11 772 m²		 S 79.768488°
E155.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930778503417969 y=0.884071350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930778503417969 × 216)
    floor (0.930778503417969 × 65536)
    floor (60999.5)     		tx = 60999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884071350097656 × 216)
    floor (0.884071350097656 × 65536)
    floor (57938.5)     		ty = 57938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60999 / 57938 ti = "16/60999/57938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60999/57938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60999 ÷ 216
    60999 ÷ 65536     		x = 0.930770874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57938 ÷ 216
    57938 ÷ 65536     		y = 0.884063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930770874023438 × 2 - 1) × π
    0.861541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70661323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.76812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41314352687363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70661323} λ = 2.70661323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41314352687363))-π/2
    2×atan(0.0895334010821116)-π/2
    2×0.0892953051072752-π/2
    0.17859061021455-1.57079632675     		φ = -1.39220572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70661323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.077515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39220572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.767512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60999 KachelY 57938 2.70661323 -1.39220572 155.077515 -79.767512
    Oben rechts KachelX + 1 61000 KachelY 57938 2.70670910 -1.39220572 155.083008 -79.767512
    Unten links KachelX 60999 KachelY + 1 57939 2.70661323 -1.39222275 155.077515 -79.768488
    Unten rechts KachelX + 1 61000 KachelY + 1 57939 2.70670910 -1.39222275 155.083008 -79.768488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39220572--1.39222275) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39220572--1.39222275) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70661323-2.70670910) × cos(-1.39220572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17764277345821 × 6371000     		do = 108.502033457153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70661323-2.70670910) × cos(-1.39222275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177626014293943 × 6371000     		du = 108.491797164583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39220572)-sin(-1.39222275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17764277345821-0.177626014293943)×R²
    abs(2.70670910-2.70661323)×1.67591642669385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67591642669385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67591642669385e-05×40589641000000     		ar = 11771.7124221131m²