Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60999 / 32451
↖ ↑ ↗
← N 66.857844°
W 12.461242°		 ← 120.01 m → N 66.857844°
W 12.458496°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
N 66.856765°
W 12.461242°		 ← 120.02 m →
14 405 m²		 N 66.856765°
W 12.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465389251708984 y=0.247585296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465389251708984 × 217)
    floor (0.465389251708984 × 131072)
    floor (60999.5)     		tx = 60999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247585296630859 × 217)
    floor (0.247585296630859 × 131072)
    floor (32451.5)     		ty = 32451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60999 / 32451 ti = "17/60999/32451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60999/32451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60999 ÷ 217
    60999 ÷ 131072     		x = 0.465385437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32451 ÷ 217
    32451 ÷ 131072     		y = 0.247581481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465385437011719 × 2 - 1) × π
    -0.0692291259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21748971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247581481933594 × 2 - 1) × π
    0.504837036132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.58599232392956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21748971} λ = -0.21748971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58599232392956))-π/2
    2×atan(4.8841356192374)-π/2
    2×1.36884291927463-π/2
    2.73768583854927-1.57079632675     		φ = 1.16688951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21748971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.461242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16688951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.857844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60999 KachelY 32451 -0.21748971 1.16688951 -12.461242 66.857844
    Oben rechts KachelX + 1 61000 KachelY 32451 -0.21744178 1.16688951 -12.458496 66.857844
    Unten links KachelX 60999 KachelY + 1 32452 -0.21748971 1.16687067 -12.461242 66.856765
    Unten rechts KachelX + 1 61000 KachelY + 1 32452 -0.21744178 1.16687067 -12.458496 66.856765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16688951-1.16687067) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16688951-1.16687067) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21748971--0.21744178) × cos(1.16688951) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.393013777830607 × 6371000     		do = 120.011485016327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21748971--0.21744178) × cos(1.16687067) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.393031101754713 × 6371000     		du = 120.01677508496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16688951)-sin(1.16687067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393013777830607-0.393031101754713)×R²
    abs(-0.21744178--0.21748971)×1.73239241056944e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73239241056944e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73239241056944e-05×40589641000000     		ar = 14405.2528253554m²