Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60997 / 57937
↖ ↑ ↗
← S 79.766536°
E155.066528°		 ← 108.51 m → S 79.766536°
E155.072021°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 79.767512°
E155.066528°		 ← 108.50 m →
11 780 m²		 S 79.767512°
E155.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930747985839844 y=0.884056091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930747985839844 × 216)
    floor (0.930747985839844 × 65536)
    floor (60997.5)     		tx = 60997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884056091308594 × 216)
    floor (0.884056091308594 × 65536)
    floor (57937.5)     		ty = 57937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60997 / 57937 ti = "16/60997/57937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60997/57937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60997 ÷ 216
    60997 ÷ 65536     		x = 0.930740356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57937 ÷ 216
    57937 ÷ 65536     		y = 0.884048461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930740356445312 × 2 - 1) × π
    0.861480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70642148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884048461914062 × 2 - 1) × π
    -0.768096923828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41304765307439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70642148} λ = 2.70642148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41304765307439))-π/2
    2×atan(0.0895419854009313)-π/2
    2×0.0893038211529692-π/2
    0.178607642305938-1.57079632675     		φ = -1.39218868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70642148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.066528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39218868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.766536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60997 KachelY 57937 2.70642148 -1.39218868 155.066528 -79.766536
    Oben rechts KachelX + 1 60998 KachelY 57937 2.70651735 -1.39218868 155.072021 -79.766536
    Unten links KachelX 60997 KachelY + 1 57938 2.70642148 -1.39220572 155.066528 -79.767512
    Unten rechts KachelX + 1 60998 KachelY + 1 57938 2.70651735 -1.39220572 155.072021 -79.767512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39218868--1.39220572) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39218868--1.39220572) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70642148-2.70651735) × cos(-1.39218868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177659542411877 × 6371000     		do = 108.512275728968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70642148-2.70651735) × cos(-1.39220572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17764277345821 × 6371000     		du = 108.502033457153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39218868)-sin(-1.39220572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177659542411877-0.17764277345821)×R²
    abs(2.70651735-2.70642148)×1.67689536668958e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67689536668958e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67689536668958e-05×40589641000000     		ar = 11779.736356153m²