Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60996 / 57904
↖ ↑ ↗
← S 79.734280°
E155.061035°		 ← 108.86 m → S 79.734280°
E155.066528°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
S 79.735260°
E155.061035°		 ← 108.85 m →
11 852 m²		 S 79.735260°
E155.066528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930732727050781 y=0.883552551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930732727050781 × 216)
    floor (0.930732727050781 × 65536)
    floor (60996.5)     		tx = 60996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883552551269531 × 216)
    floor (0.883552551269531 × 65536)
    floor (57904.5)     		ty = 57904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60996 / 57904 ti = "16/60996/57904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60996/57904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60996 ÷ 216
    60996 ÷ 65536     		x = 0.93072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57904 ÷ 216
    57904 ÷ 65536     		y = 0.883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93072509765625 × 2 - 1) × π
    0.8614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70632560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.76708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40988381769946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70632560} λ = 2.70632560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40988381769946))-π/2
    2×atan(0.089825730125996)-π/2
    2×0.089585301872078-π/2
    0.179170603744156-1.57079632675     		φ = -1.39162572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70632560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39162572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.734280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60996 KachelY 57904 2.70632560 -1.39162572 155.061035 -79.734280
    Oben rechts KachelX + 1 60997 KachelY 57904 2.70642148 -1.39162572 155.066528 -79.734280
    Unten links KachelX 60996 KachelY + 1 57905 2.70632560 -1.39164281 155.061035 -79.735260
    Unten rechts KachelX + 1 60997 KachelY + 1 57905 2.70642148 -1.39164281 155.066528 -79.735260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39162572--1.39164281) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39162572--1.39164281) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70632560-2.70642148) × cos(-1.39162572) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178213518669095 × 6371000     		do = 108.861991634953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70632560-2.70642148) × cos(-1.39164281) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17819670222252 × 6371000     		du = 108.851719283674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39162572)-sin(-1.39164281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178213518669095-0.17819670222252)×R²
    abs(2.70642148-2.70632560)×1.68164465750853e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68164465750853e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68164465750853e-05×40589641000000     		ar = 11852.3768768453m²