Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60996 / 40951
↖ ↑ ↗
← N 55.790473°
W 12.469482°		 ← 171.68 m → N 55.790473°
W 12.466736°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
N 55.788929°
W 12.469482°		 ← 171.69 m →
29 478 m²		 N 55.788929°
W 12.466736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465366363525391 y=0.312435150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465366363525391 × 217)
    floor (0.465366363525391 × 131072)
    floor (60996.5)     		tx = 60996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312435150146484 × 217)
    floor (0.312435150146484 × 131072)
    floor (40951.5)     		ty = 40951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60996 / 40951 ti = "17/60996/40951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60996/40951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60996 ÷ 217
    60996 ÷ 131072     		x = 0.465362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40951 ÷ 217
    40951 ÷ 131072     		y = 0.312431335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.06927490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21763352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312431335449219 × 2 - 1) × π
    0.375137329101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.17852867715908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21763352} λ = -0.21763352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17852867715908))-π/2
    2×atan(3.24958948858494)-π/2
    2×1.27226188742164-π/2
    2.54452377484329-1.57079632675     		φ = 0.97372745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21763352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.469482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97372745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.790473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60996 KachelY 40951 -0.21763352 0.97372745 -12.469482 55.790473
    Oben rechts KachelX + 1 60997 KachelY 40951 -0.21758559 0.97372745 -12.466736 55.790473
    Unten links KachelX 60996 KachelY + 1 40952 -0.21763352 0.97370050 -12.469482 55.788929
    Unten rechts KachelX + 1 60997 KachelY + 1 40952 -0.21758559 0.97370050 -12.466736 55.788929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97372745-0.97370050) × R
    2.69500000000811e-05 × 6371000     		dl = 171.698450000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97372745-0.97370050) × R
    2.69500000000811e-05 × 6371000     		dr = 171.698450000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21763352--0.21758559) × cos(0.97372745) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.562220890929765 × 6371000     		do = 171.680912562727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21763352--0.21758559) × cos(0.97370050) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.562243178028038 × 6371000     		du = 171.687718196299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97372745)-sin(0.97370050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562220890929765-0.562243178028038)×R²
    abs(-0.21758559--0.21763352)×2.22870982727885e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22870982727885e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22870982727885e-05×40589641000000     		ar = 29477.9308417989m²