Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60996 / 40572
↖ ↑ ↗
← N 56.371335°
W 12.469482°		 ← 169.11 m → N 56.371335°
W 12.466736°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 56.369814°
W 12.469482°		 ← 169.12 m →
28 606 m²		 N 56.369814°
W 12.466736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465366363525391 y=0.309543609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465366363525391 × 217)
    floor (0.465366363525391 × 131072)
    floor (60996.5)     		tx = 60996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309543609619141 × 217)
    floor (0.309543609619141 × 131072)
    floor (40572.5)     		ty = 40572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60996 / 40572 ti = "17/60996/40572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60996/40572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60996 ÷ 217
    60996 ÷ 131072     		x = 0.465362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40572 ÷ 217
    40572 ÷ 131072     		y = 0.309539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.06927490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21763352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309539794921875 × 2 - 1) × π
    0.38092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19669676211508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21763352} λ = -0.21763352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19669676211508))-π/2
    2×atan(3.3091678803366)-π/2
    2×1.27733086262107-π/2
    2.55466172524215-1.57079632675     		φ = 0.98386540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21763352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.469482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98386540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.371335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60996 KachelY 40572 -0.21763352 0.98386540 -12.469482 56.371335
    Oben rechts KachelX + 1 60997 KachelY 40572 -0.21758559 0.98386540 -12.466736 56.371335
    Unten links KachelX 60996 KachelY + 1 40573 -0.21763352 0.98383885 -12.469482 56.369814
    Unten rechts KachelX + 1 60997 KachelY + 1 40573 -0.21758559 0.98383885 -12.466736 56.369814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98386540-0.98383885) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dl = 169.150049999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98386540-0.98383885) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dr = 169.150049999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21763352--0.21758559) × cos(0.98386540) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553808188904339 × 6371000     		do = 169.111992794458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21763352--0.21758559) × cos(0.98383885) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553830295414666 × 6371000     		du = 169.118743283328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98386540)-sin(0.98383885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553808188904339-0.553830295414666)×R²
    abs(-0.21758559--0.21763352)×2.21065103276352e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21065103276352e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21065103276352e-05×40589641000000     		ar = 28605.872961247m²