Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60993 / 57963
↖ ↑ ↗
← S 79.791879°
E155.044555°		 ← 108.26 m → S 79.791879°
E155.050049°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
S 79.792852°
E155.044555°		 ← 108.25 m →
11 718 m²		 S 79.792852°
E155.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930686950683594 y=0.884452819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930686950683594 × 216)
    floor (0.930686950683594 × 65536)
    floor (60993.5)     		tx = 60993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884452819824219 × 216)
    floor (0.884452819824219 × 65536)
    floor (57963.5)     		ty = 57963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60993 / 57963 ti = "16/60993/57963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60993/57963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60993 ÷ 216
    60993 ÷ 65536     		x = 0.930679321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57963 ÷ 216
    57963 ÷ 65536     		y = 0.884445190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930679321289062 × 2 - 1) × π
    0.861358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70603798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884445190429688 × 2 - 1) × π
    -0.768890380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41554037185463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70603798} λ = 2.70603798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41554037185463))-π/2
    2×atan(0.0893190603724361)-π/2
    2×0.0890826648929716-π/2
    0.178165329785943-1.57079632675     		φ = -1.39263100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70603798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.044555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39263100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.791879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60993 KachelY 57963 2.70603798 -1.39263100 155.044555 -79.791879
    Oben rechts KachelX + 1 60994 KachelY 57963 2.70613386 -1.39263100 155.050049 -79.791879
    Unten links KachelX 60993 KachelY + 1 57964 2.70603798 -1.39264799 155.044555 -79.792852
    Unten rechts KachelX + 1 60994 KachelY + 1 57964 2.70613386 -1.39264799 155.050049 -79.792852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39263100--1.39264799) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39263100--1.39264799) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70603798-2.70613386) × cos(-1.39263100) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177224241468292 × 6371000     		do = 108.257690192713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70603798-2.70613386) × cos(-1.39264799) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177207520385961 × 6371000     		du = 108.247476094823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39263100)-sin(-1.39264799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177224241468292-0.177207520385961)×R²
    abs(2.70613386-2.70603798)×1.67210823312502e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67210823312502e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67210823312502e-05×40589641000000     		ar = 11717.6157509336m²