Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60993 / 40686
↖ ↑ ↗
← N 56.197537°
W 12.477722°		 ← 169.88 m → N 56.197537°
W 12.474976°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
N 56.196009°
W 12.477722°		 ← 169.89 m →
28 866 m²		 N 56.196009°
W 12.474976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465343475341797 y=0.310413360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465343475341797 × 217)
    floor (0.465343475341797 × 131072)
    floor (60993.5)     		tx = 60993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310413360595703 × 217)
    floor (0.310413360595703 × 131072)
    floor (40686.5)     		ty = 40686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60993 / 40686 ti = "17/60993/40686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60993/40686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60993 ÷ 217
    60993 ÷ 131072     		x = 0.465339660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40686 ÷ 217
    40686 ÷ 131072     		y = 0.310409545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465339660644531 × 2 - 1) × π
    -0.0693206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21777733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310409545898438 × 2 - 1) × π
    0.379180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1912319555584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21777733} λ = -0.21777733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1912319555584))-π/2
    2×atan(3.29113324079751)-π/2
    2×1.27581418962842-π/2
    2.55162837925685-1.57079632675     		φ = 0.98083205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21777733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.477722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98083205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.197537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60993 KachelY 40686 -0.21777733 0.98083205 -12.477722 56.197537
    Oben rechts KachelX + 1 60994 KachelY 40686 -0.21772940 0.98083205 -12.474976 56.197537
    Unten links KachelX 60993 KachelY + 1 40687 -0.21777733 0.98080538 -12.477722 56.196009
    Unten rechts KachelX + 1 60994 KachelY + 1 40687 -0.21772940 0.98080538 -12.474976 56.196009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98083205-0.98080538) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98083205-0.98080538) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21777733--0.21772940) × cos(0.98083205) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556331338693483 × 6371000     		do = 169.882466936065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21777733--0.21772940) × cos(0.98080538) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556353500213587 × 6371000     		du = 169.889234222832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98083205)-sin(0.98080538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556331338693483-0.556353500213587)×R²
    abs(-0.21772940--0.21777733)×2.21615201049241e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21615201049241e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21615201049241e-05×40589641000000     		ar = 28866.0812519563m²