Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6099 / 10181
↖ ↑ ↗
← S 39.993956°
W 45.988770°		 ← 1 871.83 m → S 39.993956°
W 45.966797°		 →
↑
1 871.54 m
↓
↑
1 871.54 m
↓
S 40.010787°
W 45.988770°		 ← 1 871.36 m →
3 502 774 m²		 S 40.010787°
W 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372283935546875 y=0.621429443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372283935546875 × 214)
    floor (0.372283935546875 × 16384)
    floor (6099.5)     		tx = 6099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621429443359375 × 214)
    floor (0.621429443359375 × 16384)
    floor (10181.5)     		ty = 10181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6099 / 10181 ti = "14/6099/10181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6099/10181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6099 ÷ 214
    6099 ÷ 16384     		x = 0.37225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10181 ÷ 214
    10181 ÷ 16384     		y = 0.62139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.2554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80265545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.762771946754333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80265545} λ = -0.80265545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762771946754333))-π/2
    2×atan(0.466371875618123)-π/2
    2×0.436385059527516-π/2
    0.872770119055031-1.57079632675     		φ = -0.69802621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80265545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.988770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69802621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.993956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6099 KachelY 10181 -0.80265545 -0.69802621 -45.988770 -39.993956
    Oben rechts KachelX + 1 6100 KachelY 10181 -0.80227195 -0.69802621 -45.966797 -39.993956
    Unten links KachelX 6099 KachelY + 1 10182 -0.80265545 -0.69831997 -45.988770 -40.010787
    Unten rechts KachelX + 1 6100 KachelY + 1 10182 -0.80227195 -0.69831997 -45.966797 -40.010787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69802621--0.69831997) × R
    0.000293760000000032 × 6371000     		dl = 1871.5449600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69802621--0.69831997) × R
    0.000293760000000032 × 6371000     		dr = 1871.5449600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80265545--0.80227195) × cos(-0.69802621) × R
    0.000383500000000092 × 0.766112247034181 × 6371000     		do = 1871.82558176575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80265545--0.80227195) × cos(-0.69831997) × R
    0.000383500000000092 × 0.765923412432855 × 6371000     		du = 1871.36420624428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69802621)-sin(-0.69831997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766112247034181-0.765923412432855)×R²
    abs(-0.80227195--0.80265545)×0.000188834601326016×R²
    0.000383500000000092×0.000188834601326016×6371000²
    0.000383500000000092×0.000188834601326016×40589641000000     		ar = 3502774.01622579m²