Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60989 / 40673
↖ ↑ ↗
← N 56.217396°
W 12.488708°		 ← 169.79 m → N 56.217396°
W 12.485962°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
N 56.215869°
W 12.488708°		 ← 169.80 m →
28 840 m²		 N 56.215869°
W 12.485962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465312957763672 y=0.310314178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465312957763672 × 217)
    floor (0.465312957763672 × 131072)
    floor (60989.5)     		tx = 60989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310314178466797 × 217)
    floor (0.310314178466797 × 131072)
    floor (40673.5)     		ty = 40673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60989 / 40673 ti = "17/60989/40673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60989/40673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60989 ÷ 217
    60989 ÷ 131072     		x = 0.465309143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40673 ÷ 217
    40673 ÷ 131072     		y = 0.310310363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465309143066406 × 2 - 1) × π
    -0.0693817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21796908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310310363769531 × 2 - 1) × π
    0.379379272460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19185513525346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21796908} λ = -0.21796908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19185513525346))-π/2
    2×atan(3.29318484740031)-π/2
    2×1.2759874919462-π/2
    2.5519749838924-1.57079632675     		φ = 0.98117866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21796908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.488708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98117866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.217396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60989 KachelY 40673 -0.21796908 0.98117866 -12.488708 56.217396
    Oben rechts KachelX + 1 60990 KachelY 40673 -0.21792115 0.98117866 -12.485962 56.217396
    Unten links KachelX 60989 KachelY + 1 40674 -0.21796908 0.98115200 -12.488708 56.215869
    Unten rechts KachelX + 1 60990 KachelY + 1 40674 -0.21792115 0.98115200 -12.485962 56.215869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98117866-0.98115200) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dl = 169.850859999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98117866-0.98115200) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dr = 169.850859999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21796908--0.21792115) × cos(0.98117866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556043286043373 × 6371000     		do = 169.794506594081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21796908--0.21792115) × cos(0.98115200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.55606544439364 × 6371000     		du = 169.8012729129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98117866)-sin(0.98115200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556043286043373-0.55606544439364)×R²
    abs(-0.21792115--0.21796908)×2.21583502671985e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21583502671985e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21583502671985e-05×40589641000000     		ar = 28840.3176025399m²