Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60989 / 40294
↖ ↑ ↗
← N 56.791854°
W 12.488708°		 ← 167.24 m → N 56.791854°
W 12.485962°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
N 56.790349°
W 12.488708°		 ← 167.25 m →
27 980 m²		 N 56.790349°
W 12.485962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465312957763672 y=0.307422637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465312957763672 × 217)
    floor (0.465312957763672 × 131072)
    floor (60989.5)     		tx = 60989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307422637939453 × 217)
    floor (0.307422637939453 × 131072)
    floor (40294.5)     		ty = 40294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60989 / 40294 ti = "17/60989/40294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60989/40294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60989 ÷ 217
    60989 ÷ 131072     		x = 0.465309143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40294 ÷ 217
    40294 ÷ 131072     		y = 0.307418823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465309143066406 × 2 - 1) × π
    -0.0693817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21796908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307418823242188 × 2 - 1) × π
    0.385162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21002322020946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21796908} λ = -0.21796908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21002322020946))-π/2
    2×atan(3.35356252206914)-π/2
    2×1.28100058259403-π/2
    2.56200116518806-1.57079632675     		φ = 0.99120484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21796908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.488708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99120484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.791854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60989 KachelY 40294 -0.21796908 0.99120484 -12.488708 56.791854
    Oben rechts KachelX + 1 60990 KachelY 40294 -0.21792115 0.99120484 -12.485962 56.791854
    Unten links KachelX 60989 KachelY + 1 40295 -0.21796908 0.99117858 -12.488708 56.790349
    Unten rechts KachelX + 1 60990 KachelY + 1 40295 -0.21792115 0.99117858 -12.485962 56.790349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99120484-0.99117858) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dl = 167.302459999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99120484-0.99117858) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dr = 167.302459999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21796908--0.21792115) × cos(0.99120484) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547682185035362 × 6371000     		do = 167.241343817239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21796908--0.21792115) × cos(0.99117858) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547704156232834 × 6371000     		du = 167.248052986701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99120484)-sin(0.99117858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547682185035362-0.547704156232834)×R²
    abs(-0.21792115--0.21796908)×2.19711974717152e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19711974717152e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19711974717152e-05×40589641000000     		ar = 27980.4494660784m²