Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60988 / 57931
↖ ↑ ↗
← S 79.760679°
E155.017090°		 ← 108.59 m → S 79.760679°
E155.022583°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 79.761655°
E155.017090°		 ← 108.57 m →
11 788 m²		 S 79.761655°
E155.022583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930610656738281 y=0.883964538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930610656738281 × 216)
    floor (0.930610656738281 × 65536)
    floor (60988.5)     		tx = 60988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883964538574219 × 216)
    floor (0.883964538574219 × 65536)
    floor (57931.5)     		ty = 57931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60988 / 57931 ti = "16/60988/57931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60988/57931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60988 ÷ 216
    60988 ÷ 65536     		x = 0.93060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57931 ÷ 216
    57931 ÷ 65536     		y = 0.883956909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93060302734375 × 2 - 1) × π
    0.8612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70555861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883956909179688 × 2 - 1) × π
    -0.767913818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41247241027895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70555861} λ = 2.70555861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41247241027895))-π/2
    2×atan(0.0895935086006766)-π/2
    2×0.0893549343035202-π/2
    0.17870986860704-1.57079632675     		φ = -1.39208646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70555861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39208646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.760679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60988 KachelY 57931 2.70555861 -1.39208646 155.017090 -79.760679
    Oben rechts KachelX + 1 60989 KachelY 57931 2.70565449 -1.39208646 155.022583 -79.760679
    Unten links KachelX 60988 KachelY + 1 57932 2.70555861 -1.39210350 155.017090 -79.761655
    Unten rechts KachelX + 1 60989 KachelY + 1 57932 2.70565449 -1.39210350 155.022583 -79.761655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39208646--1.39210350) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39208646--1.39210350) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70555861-2.70565449) × cos(-1.39208646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177760135368936 × 6371000     		do = 108.585041775044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70555861-2.70565449) × cos(-1.39210350) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177743366724794 × 6371000     		du = 108.574798623952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39208646)-sin(-1.39210350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177760135368936-0.177743366724794)×R²
    abs(2.70565449-2.70555861)×1.67686441413795e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67686441413795e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67686441413795e-05×40589641000000     		ar = 11787.6359243115m²