Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60988 / 40666
↖ ↑ ↗
← N 56.228085°
W 12.491455°		 ← 169.78 m → N 56.228085°
W 12.488708°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
N 56.226558°
W 12.491455°		 ← 169.79 m →
28 827 m²		 N 56.226558°
W 12.488708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465305328369141 y=0.310260772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465305328369141 × 217)
    floor (0.465305328369141 × 131072)
    floor (60988.5)     		tx = 60988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310260772705078 × 217)
    floor (0.310260772705078 × 131072)
    floor (40666.5)     		ty = 40666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60988 / 40666 ti = "17/60988/40666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60988/40666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60988 ÷ 217
    60988 ÷ 131072     		x = 0.465301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40666 ÷ 217
    40666 ÷ 131072     		y = 0.310256958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.06939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21801702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310256958007812 × 2 - 1) × π
    0.379486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1921906935508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21801702} λ = -0.21801702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1921906935508))-π/2
    2×atan(3.29429008832654)-π/2
    2×1.27608077140678-π/2
    2.55216154281355-1.57079632675     		φ = 0.98136522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21801702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98136522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.228085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60988 KachelY 40666 -0.21801702 0.98136522 -12.491455 56.228085
    Oben rechts KachelX + 1 60989 KachelY 40666 -0.21796908 0.98136522 -12.488708 56.228085
    Unten links KachelX 60988 KachelY + 1 40667 -0.21801702 0.98133857 -12.491455 56.226558
    Unten rechts KachelX + 1 60989 KachelY + 1 40667 -0.21796908 0.98133857 -12.488708 56.226558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98136522-0.98133857) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98136522-0.98133857) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21801702--0.21796908) × cos(0.98136522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555888216401905 × 6371000     		do = 169.782569851819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21801702--0.21796908) × cos(0.98133857) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555910369205006 × 6371000     		du = 169.789335888099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98136522)-sin(0.98133857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555888216401905-0.555910369205006)×R²
    abs(-0.21796908--0.21801702)×2.21528031010276e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21528031010276e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21528031010276e-05×40589641000000     		ar = 28827.4730496801m²