Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60988 / 40292
↖ ↑ ↗
← N 56.794862°
W 12.491455°		 ← 167.26 m → N 56.794862°
W 12.488708°		 →
↑
167.24 m
↓
↑
167.24 m
↓
N 56.793358°
W 12.491455°		 ← 167.27 m →
27 973 m²		 N 56.793358°
W 12.488708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465305328369141 y=0.307407379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465305328369141 × 217)
    floor (0.465305328369141 × 131072)
    floor (60988.5)     		tx = 60988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307407379150391 × 217)
    floor (0.307407379150391 × 131072)
    floor (40292.5)     		ty = 40292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60988 / 40292 ti = "17/60988/40292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60988/40292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60988 ÷ 217
    60988 ÷ 131072     		x = 0.465301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40292 ÷ 217
    40292 ÷ 131072     		y = 0.307403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.06939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21801702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307403564453125 × 2 - 1) × π
    0.38519287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2101190940087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21801702} λ = -0.21801702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2101190940087))-π/2
    2×atan(3.35388405626222)-π/2
    2×1.28102683572703-π/2
    2.56205367145407-1.57079632675     		φ = 0.99125734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21801702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99125734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.794862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60988 KachelY 40292 -0.21801702 0.99125734 -12.491455 56.794862
    Oben rechts KachelX + 1 60989 KachelY 40292 -0.21796908 0.99125734 -12.488708 56.794862
    Unten links KachelX 60988 KachelY + 1 40293 -0.21801702 0.99123109 -12.491455 56.793358
    Unten rechts KachelX + 1 60989 KachelY + 1 40293 -0.21796908 0.99123109 -12.488708 56.793358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99125734-0.99123109) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dl = 167.238750000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99125734-0.99123109) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dr = 167.238750000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21801702--0.21796908) × cos(0.99125734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547638258241714 × 6371000     		do = 167.262820275774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21801702--0.21796908) × cos(0.99123109) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547660221827224 × 6371000     		du = 167.269528520131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99125734)-sin(0.99123109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547638258241714-0.547660221827224)×R²
    abs(-0.21796908--0.21801702)×2.19635855103206e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19635855103206e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19635855103206e-05×40589641000000     		ar = 27973.3859253625m²