Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60988 / 32540
↖ ↑ ↗
← N 66.761585°
W 12.491455°		 ← 120.51 m → N 66.761585°
W 12.488708°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.760501°
W 12.491455°		 ← 120.51 m →
14 519 m²		 N 66.760501°
W 12.488708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465305328369141 y=0.248264312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465305328369141 × 217)
    floor (0.465305328369141 × 131072)
    floor (60988.5)     		tx = 60988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248264312744141 × 217)
    floor (0.248264312744141 × 131072)
    floor (32540.5)     		ty = 32540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60988 / 32540 ti = "17/60988/32540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60988/32540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60988 ÷ 217
    60988 ÷ 131072     		x = 0.465301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32540 ÷ 217
    32540 ÷ 131072     		y = 0.248260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.06939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21801702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248260498046875 × 2 - 1) × π
    0.50347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58172593986337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21801702} λ = -0.21801702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58172593986337))-π/2
    2×atan(4.86334240830618)-π/2
    2×1.36800289915697-π/2
    2.73600579831394-1.57079632675     		φ = 1.16520947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21801702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16520947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.761585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60988 KachelY 32540 -0.21801702 1.16520947 -12.491455 66.761585
    Oben rechts KachelX + 1 60989 KachelY 32540 -0.21796908 1.16520947 -12.488708 66.761585
    Unten links KachelX 60988 KachelY + 1 32541 -0.21801702 1.16519056 -12.491455 66.760501
    Unten rechts KachelX + 1 60989 KachelY + 1 32541 -0.21796908 1.16519056 -12.488708 66.760501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16520947-1.16519056) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dl = 120.475609999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16520947-1.16519056) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dr = 120.475609999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21801702--0.21796908) × cos(1.16520947) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394558073976597 × 6371000     		do = 120.508191717268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21801702--0.21796908) × cos(1.16519056) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394575449756781 × 6371000     		du = 120.513498727788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16520947)-sin(1.16519056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394558073976597-0.394575449756781)×R²
    abs(-0.21796908--0.21801702)×1.73757801837926e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73757801837926e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73757801837926e-05×40589641000000     		ar = 14518.6175901703m²