Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60987 / 40667
↖ ↑ ↗
← N 56.226558°
W 12.494202°		 ← 169.79 m → N 56.226558°
W 12.491455°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
N 56.225031°
W 12.494202°		 ← 169.80 m →
28 829 m²		 N 56.225031°
W 12.491455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465297698974609 y=0.310268402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465297698974609 × 217)
    floor (0.465297698974609 × 131072)
    floor (60987.5)     		tx = 60987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310268402099609 × 217)
    floor (0.310268402099609 × 131072)
    floor (40667.5)     		ty = 40667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60987 / 40667 ti = "17/60987/40667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60987/40667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60987 ÷ 217
    60987 ÷ 131072     		x = 0.465293884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40667 ÷ 217
    40667 ÷ 131072     		y = 0.310264587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465293884277344 × 2 - 1) × π
    -0.0694122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21806496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310264587402344 × 2 - 1) × π
    0.379470825195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19214275665118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21806496} λ = -0.21806496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19214275665118))-π/2
    2×atan(3.29413217405824)-π/2
    2×1.27606744736242-π/2
    2.55213489472484-1.57079632675     		φ = 0.98133857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21806496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.494202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98133857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.226558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60987 KachelY 40667 -0.21806496 0.98133857 -12.494202 56.226558
    Oben rechts KachelX + 1 60988 KachelY 40667 -0.21801702 0.98133857 -12.491455 56.226558
    Unten links KachelX 60987 KachelY + 1 40668 -0.21806496 0.98131192 -12.494202 56.225031
    Unten rechts KachelX + 1 60988 KachelY + 1 40668 -0.21801702 0.98131192 -12.491455 56.225031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98133857-0.98131192) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98133857-0.98131192) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21806496--0.21801702) × cos(0.98133857) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555910369205006 × 6371000     		do = 169.789335888099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21806496--0.21801702) × cos(0.98131192) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555932521613287 × 6371000     		du = 169.796101803791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98133857)-sin(0.98131192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555910369205006-0.555932521613287)×R²
    abs(-0.21801702--0.21806496)×2.21524082809621e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21524082809621e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21524082809621e-05×40589641000000     		ar = 28828.6218253135m²