Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60986 / 57944
↖ ↑ ↗
← S 79.773365°
E155.006104°		 ← 108.44 m → S 79.773365°
E155.011597°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
S 79.774340°
E155.006104°		 ← 108.43 m →
11 758 m²		 S 79.774340°
E155.011597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930580139160156 y=0.884162902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930580139160156 × 216)
    floor (0.930580139160156 × 65536)
    floor (60986.5)     		tx = 60986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884162902832031 × 216)
    floor (0.884162902832031 × 65536)
    floor (57944.5)     		ty = 57944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60986 / 57944 ti = "16/60986/57944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60986/57944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60986 ÷ 216
    60986 ÷ 65536     		x = 0.930572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57944 ÷ 216
    57944 ÷ 65536     		y = 0.8841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930572509765625 × 2 - 1) × π
    0.86114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70536687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70536687} λ = 2.70536687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41371876966907))-π/2
    2×atan(0.0894819124488403)-π/2
    2×0.0892442257028248-π/2
    0.17848845140565-1.57079632675     		φ = -1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70536687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.006104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60986 KachelY 57944 2.70536687 -1.39230788 155.006104 -79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 60987 KachelY 57944 2.70546274 -1.39230788 155.011597 -79.773365
    Unten links KachelX 60986 KachelY + 1 57945 2.70536687 -1.39232490 155.006104 -79.774340
    Unten rechts KachelX + 1 60987 KachelY + 1 57945 2.70546274 -1.39232490 155.011597 -79.774340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39230788--1.39232490) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39230788--1.39232490) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70536687-2.70546274) × cos(-1.39230788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 108.440627251507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70536687-2.70546274) × cos(-1.39232490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177525487750177 × 6371000     		du = 108.430396781091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39230788)-sin(-1.39232490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177525487750177)×R²
    abs(2.70546274-2.70536687)×1.67496320631344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67496320631344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67496320631344e-05×40589641000000     		ar = 11758.1418530408m²