Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60985 / 57966
↖ ↑ ↗
← S 79.794799°
E155.000610°		 ← 108.23 m → S 79.794799°
E155.006104°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
S 79.795772°
E155.000610°		 ← 108.22 m →
11 714 m²		 S 79.795772°
E155.006104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930564880371094 y=0.884498596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930564880371094 × 216)
    floor (0.930564880371094 × 65536)
    floor (60985.5)     		tx = 60985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884498596191406 × 216)
    floor (0.884498596191406 × 65536)
    floor (57966.5)     		ty = 57966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60985 / 57966 ti = "16/60985/57966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60985/57966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60985 ÷ 216
    60985 ÷ 65536     		x = 0.930557250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57966 ÷ 216
    57966 ÷ 65536     		y = 0.884490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930557250976562 × 2 - 1) × π
    0.861114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70527099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.76898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41582799325235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70527099} λ = 2.70527099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41582799325235))-π/2
    2×atan(0.0892933739936019)-π/2
    2×0.0890571817574453-π/2
    0.178114363514891-1.57079632675     		φ = -1.39268196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70527099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.000610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39268196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.794799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60985 KachelY 57966 2.70527099 -1.39268196 155.000610 -79.794799
    Oben rechts KachelX + 1 60986 KachelY 57966 2.70536687 -1.39268196 155.006104 -79.794799
    Unten links KachelX 60985 KachelY + 1 57967 2.70527099 -1.39269895 155.000610 -79.795772
    Unten rechts KachelX + 1 60986 KachelY + 1 57967 2.70536687 -1.39269895 155.006104 -79.795772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39268196--1.39269895) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39268196--1.39269895) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70527099-2.70536687) × cos(-1.39268196) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.17717408790964 × 6371000     		do = 108.227053817684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70527099-2.70536687) × cos(-1.39269895) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.177157366673895 × 6371000     		du = 108.216839626082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39268196)-sin(-1.39269895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17717408790964-0.177157366673895)×R²
    abs(2.70536687-2.70527099)×1.67212357448654e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.67212357448654e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.67212357448654e-05×40589641000000     		ar = 11714.2995638097m²