Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60985 / 40633
↖ ↑ ↗
← N 56.278436°
W 12.499695°		 ← 169.56 m → N 56.278436°
W 12.496948°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
N 56.276911°
W 12.499695°		 ← 169.57 m →
28 757 m²		 N 56.276911°
W 12.496948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465282440185547 y=0.310009002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465282440185547 × 217)
    floor (0.465282440185547 × 131072)
    floor (60985.5)     		tx = 60985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310009002685547 × 217)
    floor (0.310009002685547 × 131072)
    floor (40633.5)     		ty = 40633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60985 / 40633 ti = "17/60985/40633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60985/40633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60985 ÷ 217
    60985 ÷ 131072     		x = 0.465278625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40633 ÷ 217
    40633 ÷ 131072     		y = 0.310005187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465278625488281 × 2 - 1) × π
    -0.0694427490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21816083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310005187988281 × 2 - 1) × π
    0.379989624023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.19377261123826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21816083} λ = -0.21816083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19377261123826))-π/2
    2×atan(3.29950550817973)-π/2
    2×1.27652016709204-π/2
    2.55304033418407-1.57079632675     		φ = 0.98224401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21816083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.499695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98224401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.278436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60985 KachelY 40633 -0.21816083 0.98224401 -12.499695 56.278436
    Oben rechts KachelX + 1 60986 KachelY 40633 -0.21811289 0.98224401 -12.496948 56.278436
    Unten links KachelX 60985 KachelY + 1 40634 -0.21816083 0.98221739 -12.499695 56.276911
    Unten rechts KachelX + 1 60986 KachelY + 1 40634 -0.21811289 0.98221739 -12.496948 56.276911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98224401-0.98221739) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dl = 169.596019999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98224401-0.98221739) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dr = 169.596019999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21816083--0.21811289) × cos(0.98224401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555157501460493 × 6371000     		do = 169.559390700109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21816083--0.21811289) × cos(0.98221739) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555179642322149 × 6371000     		du = 169.566153089165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98224401)-sin(0.98221739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555157501460493-0.555179642322149)×R²
    abs(-0.21811289--0.21816083)×2.21408616559726e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21408616559726e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21408616559726e-05×40589641000000     		ar = 28757.1712552243m²