Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60984 / 40313
↖ ↑ ↗
← N 56.763262°
W 12.502442°		 ← 167.40 m → N 56.763262°
W 12.499695°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
N 56.761756°
W 12.502442°		 ← 167.41 m →
28 029 m²		 N 56.761756°
W 12.499695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465274810791016 y=0.307567596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465274810791016 × 217)
    floor (0.465274810791016 × 131072)
    floor (60984.5)     		tx = 60984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307567596435547 × 217)
    floor (0.307567596435547 × 131072)
    floor (40313.5)     		ty = 40313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60984 / 40313 ti = "17/60984/40313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60984/40313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60984 ÷ 217
    60984 ÷ 131072     		x = 0.46527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40313 ÷ 217
    40313 ÷ 131072     		y = 0.307563781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21820877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307563781738281 × 2 - 1) × π
    0.384872436523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.20911241911668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21820877} λ = -0.21820877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20911241911668))-π/2
    2×atan(3.35050948422549)-π/2
    2×1.28075107277944-π/2
    2.56150214555888-1.57079632675     		φ = 0.99070582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21820877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.502442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99070582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.763262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60984 KachelY 40313 -0.21820877 0.99070582 -12.502442 56.763262
    Oben rechts KachelX + 1 60985 KachelY 40313 -0.21816083 0.99070582 -12.499695 56.763262
    Unten links KachelX 60984 KachelY + 1 40314 -0.21820877 0.99067954 -12.502442 56.761756
    Unten rechts KachelX + 1 60985 KachelY + 1 40314 -0.21816083 0.99067954 -12.499695 56.761756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99070582-0.99067954) × R
    2.62799999999341e-05 × 6371000     		dl = 167.42987999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99070582-0.99067954) × R
    2.62799999999341e-05 × 6371000     		dr = 167.42987999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21820877--0.21816083) × cos(0.99070582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548099640100701 × 6371000     		do = 167.403738171477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21820877--0.21816083) × cos(0.99067954) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548121620846294 × 6371000     		du = 167.410451656966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99070582)-sin(0.99067954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548099640100701-0.548121620846294)×R²
    abs(-0.21816083--0.21820877)×2.19807455927867e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19807455927867e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19807455927867e-05×40589641000000     		ar = 28028.9498142186m²