Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60982 / 40478
↖ ↑ ↗
← N 56.514049°
W 12.507935°		 ← 168.51 m → N 56.514049°
W 12.505188°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 56.512533°
W 12.507935°		 ← 168.52 m →
28 397 m²		 N 56.512533°
W 12.505188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465259552001953 y=0.308826446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465259552001953 × 217)
    floor (0.465259552001953 × 131072)
    floor (60982.5)     		tx = 60982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308826446533203 × 217)
    floor (0.308826446533203 × 131072)
    floor (40478.5)     		ty = 40478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60982 / 40478 ti = "17/60982/40478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60982/40478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60982 ÷ 217
    60982 ÷ 131072     		x = 0.465255737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40478 ÷ 217
    40478 ÷ 131072     		y = 0.308822631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465255737304688 × 2 - 1) × π
    -0.069488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21830464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308822631835938 × 2 - 1) × π
    0.382354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20120283067937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21830464} λ = -0.21830464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20120283067937))-π/2
    2×atan(3.32411286396888)-π/2
    2×1.27857627234804-π/2
    2.55715254469607-1.57079632675     		φ = 0.98635622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21830464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.507935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98635622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.514049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60982 KachelY 40478 -0.21830464 0.98635622 -12.507935 56.514049
    Oben rechts KachelX + 1 60983 KachelY 40478 -0.21825670 0.98635622 -12.505188 56.514049
    Unten links KachelX 60982 KachelY + 1 40479 -0.21830464 0.98632977 -12.507935 56.512533
    Unten rechts KachelX + 1 60983 KachelY + 1 40479 -0.21825670 0.98632977 -12.505188 56.512533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98635622-0.98632977) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98635622-0.98632977) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21830464--0.21825670) × cos(0.98635622) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551732506070875 × 6371000     		do = 168.513308948739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21830464--0.21825670) × cos(0.98632977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551754565736709 × 6371000     		du = 168.5200465385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98635622)-sin(0.98632977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551732506070875-0.551754565736709)×R²
    abs(-0.21825670--0.21830464)×2.20596658331296e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20596658331296e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20596658331296e-05×40589641000000     		ar = 28397.2424923211m²