Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60982 / 40318
↖ ↑ ↗
← N 56.755734°
W 12.507935°		 ← 167.44 m → N 56.755734°
W 12.505188°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
N 56.754228°
W 12.507935°		 ← 167.44 m →
28 035 m²		 N 56.754228°
W 12.505188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465259552001953 y=0.307605743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465259552001953 × 217)
    floor (0.465259552001953 × 131072)
    floor (60982.5)     		tx = 60982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307605743408203 × 217)
    floor (0.307605743408203 × 131072)
    floor (40318.5)     		ty = 40318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60982 / 40318 ti = "17/60982/40318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60982/40318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60982 ÷ 217
    60982 ÷ 131072     		x = 0.465255737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40318 ÷ 217
    40318 ÷ 131072     		y = 0.307601928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465255737304688 × 2 - 1) × π
    -0.069488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21830464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307601928710938 × 2 - 1) × π
    0.384796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20887273461858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21830464} λ = -0.21830464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20887273461858))-π/2
    2×atan(3.34970651527483)-π/2
    2×1.28068538070133-π/2
    2.56137076140266-1.57079632675     		φ = 0.99057443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21830464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.507935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99057443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.755734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60982 KachelY 40318 -0.21830464 0.99057443 -12.507935 56.755734
    Oben rechts KachelX + 1 60983 KachelY 40318 -0.21825670 0.99057443 -12.505188 56.755734
    Unten links KachelX 60982 KachelY + 1 40319 -0.21830464 0.99054815 -12.507935 56.754228
    Unten rechts KachelX + 1 60983 KachelY + 1 40319 -0.21825670 0.99054815 -12.505188 56.754228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99057443-0.99054815) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99057443-0.99054815) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21830464--0.21825670) × cos(0.99057443) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548209531679565 × 6371000     		do = 167.437301888272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21830464--0.21825670) × cos(0.99054815) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548231510532381 × 6371000     		du = 167.444014795657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99057443)-sin(0.99054815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548209531679565-0.548231510532381)×R²
    abs(-0.21825670--0.21830464)×2.19788528158515e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19788528158515e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19788528158515e-05×40589641000000     		ar = 28034.5693348317m²