Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60981 / 41245
↖ ↑ ↗
← N 55.333832°
W 12.510681°		 ← 173.72 m → N 55.333832°
W 12.507935°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
N 55.332269°
W 12.510681°		 ← 173.73 m →
30 183 m²		 N 55.332269°
W 12.507935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465251922607422 y=0.314678192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465251922607422 × 217)
    floor (0.465251922607422 × 131072)
    floor (60981.5)     		tx = 60981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314678192138672 × 217)
    floor (0.314678192138672 × 131072)
    floor (41245.5)     		ty = 41245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60981 / 41245 ti = "17/60981/41245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60981/41245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60981 ÷ 217
    60981 ÷ 131072     		x = 0.465248107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41245 ÷ 217
    41245 ÷ 131072     		y = 0.314674377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465248107910156 × 2 - 1) × π
    -0.0695037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21835258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314674377441406 × 2 - 1) × π
    0.370651245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.16443522867078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21835258} λ = -0.21835258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16443522867078))-π/2
    2×atan(3.20411278106971)-π/2
    2×1.2682769362553-π/2
    2.53655387251059-1.57079632675     		φ = 0.96575755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21835258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.510681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96575755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.333832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60981 KachelY 41245 -0.21835258 0.96575755 -12.510681 55.333832
    Oben rechts KachelX + 1 60982 KachelY 41245 -0.21830464 0.96575755 -12.507935 55.333832
    Unten links KachelX 60981 KachelY + 1 41246 -0.21835258 0.96573028 -12.510681 55.332269
    Unten rechts KachelX + 1 60982 KachelY + 1 41246 -0.21830464 0.96573028 -12.507935 55.332269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96575755-0.96573028) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dl = 173.737169999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96575755-0.96573028) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dr = 173.737169999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21835258--0.21830464) × cos(0.96575755) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568793969826427 × 6371000     		do = 173.724319141761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21835258--0.21830464) × cos(0.96573028) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568816398645684 × 6371000     		du = 173.73116948048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96575755)-sin(0.96573028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568793969826427-0.568816398645684)×R²
    abs(-0.21830464--0.21835258)×2.24288192565147e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24288192565147e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24288192565147e-05×40589641000000     		ar = 30182.9666489988m²