Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60981 / 40476
↖ ↑ ↗
← N 56.517079°
W 12.510681°		 ← 168.50 m → N 56.517079°
W 12.507935°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 56.515564°
W 12.510681°		 ← 168.51 m →
28 384 m²		 N 56.515564°
W 12.507935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465251922607422 y=0.308811187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465251922607422 × 217)
    floor (0.465251922607422 × 131072)
    floor (60981.5)     		tx = 60981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308811187744141 × 217)
    floor (0.308811187744141 × 131072)
    floor (40476.5)     		ty = 40476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60981 / 40476 ti = "17/60981/40476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60981/40476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60981 ÷ 217
    60981 ÷ 131072     		x = 0.465248107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40476 ÷ 217
    40476 ÷ 131072     		y = 0.308807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465248107910156 × 2 - 1) × π
    -0.0695037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21835258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308807373046875 × 2 - 1) × π
    0.38238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20129870447861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21835258} λ = -0.21835258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20129870447861))-π/2
    2×atan(3.324431574576)-π/2
    2×1.27860271963648-π/2
    2.55720543927296-1.57079632675     		φ = 0.98640911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21835258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.510681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98640911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.517079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60981 KachelY 40476 -0.21835258 0.98640911 -12.510681 56.517079
    Oben rechts KachelX + 1 60982 KachelY 40476 -0.21830464 0.98640911 -12.507935 56.517079
    Unten links KachelX 60981 KachelY + 1 40477 -0.21835258 0.98638267 -12.510681 56.515564
    Unten rechts KachelX + 1 60982 KachelY + 1 40477 -0.21830464 0.98638267 -12.507935 56.515564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98640911-0.98638267) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dl = 168.449239999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98640911-0.98638267) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dr = 168.449239999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21835258--0.21830464) × cos(0.98640911) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551688393921748 × 6371000     		do = 168.499835962948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21835258--0.21830464) × cos(0.98638267) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551710446019049 × 6371000     		du = 168.506571241085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98640911)-sin(0.98638267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551688393921748-0.551710446019049)×R²
    abs(-0.21830464--0.21835258)×2.20520973013283e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20520973013283e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20520973013283e-05×40589641000000     		ar = 28384.2365859898m²