Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60981 / 33313
↖ ↑ ↗
← N 65.909502°
W 12.510681°		 ← 124.67 m → N 65.909502°
W 12.507935°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
N 65.908381°
W 12.510681°		 ← 124.67 m →
15 536 m²		 N 65.908381°
W 12.507935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465251922607422 y=0.254161834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465251922607422 × 217)
    floor (0.465251922607422 × 131072)
    floor (60981.5)     		tx = 60981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254161834716797 × 217)
    floor (0.254161834716797 × 131072)
    floor (33313.5)     		ty = 33313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60981 / 33313 ti = "17/60981/33313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60981/33313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60981 ÷ 217
    60981 ÷ 131072     		x = 0.465248107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33313 ÷ 217
    33313 ÷ 131072     		y = 0.254158020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465248107910156 × 2 - 1) × π
    -0.0695037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21835258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254158020019531 × 2 - 1) × π
    0.491683959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.54467071645707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21835258} λ = -0.21835258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54467071645707))-π/2
    2×atan(4.68642820924049)-π/2
    2×1.36056707486275-π/2
    2.72113414972551-1.57079632675     		φ = 1.15033782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21835258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.510681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15033782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.909502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60981 KachelY 33313 -0.21835258 1.15033782 -12.510681 65.909502
    Oben rechts KachelX + 1 60982 KachelY 33313 -0.21830464 1.15033782 -12.507935 65.909502
    Unten links KachelX 60981 KachelY + 1 33314 -0.21835258 1.15031826 -12.510681 65.908381
    Unten rechts KachelX + 1 60982 KachelY + 1 33314 -0.21830464 1.15031826 -12.507935 65.908381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15033782-1.15031826) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dl = 124.616760000896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15033782-1.15031826) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dr = 124.616760000896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21835258--0.21830464) × cos(1.15033782) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.40817906766695 × 6371000     		do = 124.668393794679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21835258--0.21830464) × cos(1.15031826) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		du = 124.673847563053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15033782)-sin(1.15031826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40817906766695-0.408196923949705)×R²
    abs(-0.21830464--0.21835258)×1.78562827550244e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78562827550244e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78562827550244e-05×40589641000000     		ar = 15536.1111252911m²