Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60980 / 40479
↖ ↑ ↗
← N 56.512533°
W 12.513427°		 ← 168.48 m → N 56.512533°
W 12.510681°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 56.511018°
W 12.513427°		 ← 168.49 m →
28 392 m²		 N 56.511018°
W 12.510681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465244293212891 y=0.308834075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465244293212891 × 217)
    floor (0.465244293212891 × 131072)
    floor (60980.5)     		tx = 60980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308834075927734 × 217)
    floor (0.308834075927734 × 131072)
    floor (40479.5)     		ty = 40479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60980 / 40479 ti = "17/60980/40479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60980/40479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60980 ÷ 217
    60980 ÷ 131072     		x = 0.465240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40479 ÷ 217
    40479 ÷ 131072     		y = 0.308830261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.06951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21840051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308830261230469 × 2 - 1) × π
    0.382339477539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.20115489377975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21840051} λ = -0.21840051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20115489377975))-π/2
    2×atan(3.32395352012345)-π/2
    2×1.27856304791076-π/2
    2.55712609582151-1.57079632675     		φ = 0.98632977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21840051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.513427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98632977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.512533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60980 KachelY 40479 -0.21840051 0.98632977 -12.513427 56.512533
    Oben rechts KachelX + 1 60981 KachelY 40479 -0.21835258 0.98632977 -12.510681 56.512533
    Unten links KachelX 60980 KachelY + 1 40480 -0.21840051 0.98630332 -12.513427 56.511018
    Unten rechts KachelX + 1 60981 KachelY + 1 40480 -0.21835258 0.98630332 -12.510681 56.511018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98632977-0.98630332) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98632977-0.98630332) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21840051--0.21835258) × cos(0.98632977) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551754565736709 × 6371000     		do = 168.484894255135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21840051--0.21835258) × cos(0.98630332) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551776625016533 × 6371000     		du = 168.491630321603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98632977)-sin(0.98630332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551754565736709-0.551776625016533)×R²
    abs(-0.21835258--0.21840051)×2.2059279824127e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2059279824127e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2059279824127e-05×40589641000000     		ar = 28392.4541203301m²