Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60980 / 33924
↖ ↑ ↗
← N 65.215289°
W 12.513427°		 ← 128.01 m → N 65.215289°
W 12.510681°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.214138°
W 12.513427°		 ← 128.02 m →
16 385 m²		 N 65.214138°
W 12.510681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465244293212891 y=0.258823394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465244293212891 × 217)
    floor (0.465244293212891 × 131072)
    floor (60980.5)     		tx = 60980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258823394775391 × 217)
    floor (0.258823394775391 × 131072)
    floor (33924.5)     		ty = 33924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60980 / 33924 ti = "17/60980/33924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60980/33924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60980 ÷ 217
    60980 ÷ 131072     		x = 0.465240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33924 ÷ 217
    33924 ÷ 131072     		y = 0.258819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.06951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21840051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258819580078125 × 2 - 1) × π
    0.48236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51538127078922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21840051} λ = -0.21840051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51538127078922))-π/2
    2×atan(4.55115601893997)-π/2
    2×1.35450891914032-π/2
    2.70901783828064-1.57079632675     		φ = 1.13822151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21840051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.513427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13822151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.215289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60980 KachelY 33924 -0.21840051 1.13822151 -12.513427 65.215289
    Oben rechts KachelX + 1 60981 KachelY 33924 -0.21835258 1.13822151 -12.510681 65.215289
    Unten links KachelX 60980 KachelY + 1 33925 -0.21840051 1.13820142 -12.513427 65.214138
    Unten rechts KachelX + 1 60981 KachelY + 1 33925 -0.21835258 1.13820142 -12.510681 65.214138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13822151-1.13820142) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13822151-1.13820142) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21840051--0.21835258) × cos(1.13822151) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419209838261855 × 6371000     		do = 128.010767207616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21840051--0.21835258) × cos(1.13820142) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419228077674735 × 6371000     		du = 128.016336831759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13822151)-sin(1.13820142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419209838261855-0.419228077674735)×R²
    abs(-0.21835258--0.21840051)×1.82394128808161e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82394128808161e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82394128808161e-05×40589641000000     		ar = 16384.8884894969m²