Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60977 / 40295
↖ ↑ ↗
← N 56.790349°
W 12.521668°		 ← 167.28 m → N 56.790349°
W 12.518921°		 →
↑
167.24 m
↓
↑
167.24 m
↓
N 56.788845°
W 12.521668°		 ← 167.29 m →
27 977 m²		 N 56.788845°
W 12.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465221405029297 y=0.307430267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465221405029297 × 217)
    floor (0.465221405029297 × 131072)
    floor (60977.5)     		tx = 60977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307430267333984 × 217)
    floor (0.307430267333984 × 131072)
    floor (40295.5)     		ty = 40295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60977 / 40295 ti = "17/60977/40295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60977/40295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60977 ÷ 217
    60977 ÷ 131072     		x = 0.465217590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40295 ÷ 217
    40295 ÷ 131072     		y = 0.307426452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465217590332031 × 2 - 1) × π
    -0.0695648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21854433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307426452636719 × 2 - 1) × π
    0.385147094726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.20997528330984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21854433} λ = -0.21854433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20997528330984))-π/2
    2×atan(3.35340176653224)-π/2
    2×1.28098745523778-π/2
    2.56197491047556-1.57079632675     		φ = 0.99117858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21854433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.521668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99117858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.790349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60977 KachelY 40295 -0.21854433 0.99117858 -12.521668 56.790349
    Oben rechts KachelX + 1 60978 KachelY 40295 -0.21849639 0.99117858 -12.518921 56.790349
    Unten links KachelX 60977 KachelY + 1 40296 -0.21854433 0.99115233 -12.521668 56.788845
    Unten rechts KachelX + 1 60978 KachelY + 1 40296 -0.21849639 0.99115233 -12.518921 56.788845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99117858-0.99115233) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dl = 167.238750000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99117858-0.99115233) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dr = 167.238750000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21854433--0.21849639) × cos(0.99117858) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547704156232834 × 6371000     		do = 167.282947218476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21854433--0.21849639) × cos(0.99115233) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547726118686039 × 6371000     		du = 167.289655116998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99117858)-sin(0.99115233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547704156232834-0.547726118686039)×R²
    abs(-0.21849639--0.21854433)×2.1962453204849e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1962453204849e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1962453204849e-05×40589641000000     		ar = 27976.7519011888m²