Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60977 / 33316
↖ ↑ ↗
← N 65.906139°
W 12.521668°		 ← 124.68 m → N 65.906139°
W 12.518921°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
N 65.905018°
W 12.521668°		 ← 124.69 m →
15 546 m²		 N 65.905018°
W 12.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465221405029297 y=0.254184722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465221405029297 × 217)
    floor (0.465221405029297 × 131072)
    floor (60977.5)     		tx = 60977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254184722900391 × 217)
    floor (0.254184722900391 × 131072)
    floor (33316.5)     		ty = 33316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60977 / 33316 ti = "17/60977/33316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60977/33316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60977 ÷ 217
    60977 ÷ 131072     		x = 0.465217590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33316 ÷ 217
    33316 ÷ 131072     		y = 0.254180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465217590332031 × 2 - 1) × π
    -0.0695648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21854433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254180908203125 × 2 - 1) × π
    0.49163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54452690575821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21854433} λ = -0.21854433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54452690575821))-π/2
    2×atan(4.68575429918346)-π/2
    2×1.36053772267776-π/2
    2.72107544535552-1.57079632675     		φ = 1.15027912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21854433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.521668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15027912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.906139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60977 KachelY 33316 -0.21854433 1.15027912 -12.521668 65.906139
    Oben rechts KachelX + 1 60978 KachelY 33316 -0.21849639 1.15027912 -12.518921 65.906139
    Unten links KachelX 60977 KachelY + 1 33317 -0.21854433 1.15025955 -12.521668 65.905018
    Unten rechts KachelX + 1 60978 KachelY + 1 33317 -0.21849639 1.15025955 -12.518921 65.905018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15027912-1.15025955) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15027912-1.15025955) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21854433--0.21849639) × cos(1.15027912) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		do = 124.684760533029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21854433--0.21849639) × cos(1.15025955) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408250519246999 × 6371000     		du = 124.690216946389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15027912)-sin(1.15025955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408232654304245-0.408250519246999)×R²
    abs(-0.21849639--0.21854433)×1.7864942753465e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7864942753465e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7864942753465e-05×40589641000000     		ar = 15546.0946997819m²