Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60976 / 32976
↖ ↑ ↗
← N 66.284537°
W 12.524414°		 ← 122.82 m → N 66.284537°
W 12.521668°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
N 66.283433°
W 12.524414°		 ← 122.82 m →
15 086 m²		 N 66.283433°
W 12.521668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465213775634766 y=0.251590728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465213775634766 × 217)
    floor (0.465213775634766 × 131072)
    floor (60976.5)     		tx = 60976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251590728759766 × 217)
    floor (0.251590728759766 × 131072)
    floor (32976.5)     		ty = 32976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60976 / 32976 ti = "17/60976/32976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60976/32976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60976 ÷ 217
    60976 ÷ 131072     		x = 0.4652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32976 ÷ 217
    32976 ÷ 131072     		y = 0.2515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21859226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2515869140625 × 2 - 1) × π
    0.496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56082545162903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21859226} λ = -0.21859226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56082545162903))-π/2
    2×atan(4.76275104359304)-π/2
    2×1.36383987117387-π/2
    2.72767974234774-1.57079632675     		φ = 1.15688342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21859226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15688342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.284537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60976 KachelY 32976 -0.21859226 1.15688342 -12.524414 66.284537
    Oben rechts KachelX + 1 60977 KachelY 32976 -0.21854433 1.15688342 -12.521668 66.284537
    Unten links KachelX 60976 KachelY + 1 32977 -0.21859226 1.15686414 -12.524414 66.283433
    Unten rechts KachelX + 1 60977 KachelY + 1 32977 -0.21854433 1.15686414 -12.521668 66.283433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15688342-1.15686414) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dl = 122.83288000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15688342-1.15686414) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dr = 122.83288000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21859226--0.21854433) × cos(1.15688342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.40219487560849 × 6371000     		do = 122.81504367141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21859226--0.21854433) × cos(1.15686414) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402212527416491 × 6371000     		du = 122.820433863334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15688342)-sin(1.15686414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40219487560849-0.402212527416491)×R²
    abs(-0.21854433--0.21859226)×1.76518080006183e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76518080006183e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76518080006183e-05×40589641000000     		ar = 15086.056568235m²