Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60975 / 40289
↖ ↑ ↗
← N 56.799375°
W 12.527161°		 ← 167.24 m → N 56.799375°
W 12.524414°		 →
↑
167.24 m
↓
↑
167.24 m
↓
N 56.797871°
W 12.527161°		 ← 167.25 m →
27 970 m²		 N 56.797871°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465206146240234 y=0.307384490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465206146240234 × 217)
    floor (0.465206146240234 × 131072)
    floor (60975.5)     		tx = 60975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307384490966797 × 217)
    floor (0.307384490966797 × 131072)
    floor (40289.5)     		ty = 40289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60975 / 40289 ti = "17/60975/40289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60975/40289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60975 ÷ 217
    60975 ÷ 131072     		x = 0.465202331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40289 ÷ 217
    40289 ÷ 131072     		y = 0.307380676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465202331542969 × 2 - 1) × π
    -0.0695953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21864020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307380676269531 × 2 - 1) × π
    0.385238647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21026290470756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21864020} λ = -0.21864020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21026290470756))-π/2
    2×atan(3.35436641535562)-π/2
    2×1.28106621147797-π/2
    2.56213242295594-1.57079632675     		φ = 0.99133610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21864020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.527161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99133610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.799375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60975 KachelY 40289 -0.21864020 0.99133610 -12.527161 56.799375
    Oben rechts KachelX + 1 60976 KachelY 40289 -0.21859226 0.99133610 -12.524414 56.799375
    Unten links KachelX 60975 KachelY + 1 40290 -0.21864020 0.99130985 -12.527161 56.797871
    Unten rechts KachelX + 1 60976 KachelY + 1 40290 -0.21859226 0.99130985 -12.524414 56.797871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99133610-0.99130985) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dl = 167.238750000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99133610-0.99130985) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dr = 167.238750000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21864020--0.21859226) × cos(0.99133610) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547572356853518 × 6371000     		do = 167.242692295517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21864020--0.21859226) × cos(0.99130985) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547594321571198 × 6371000     		du = 167.249400885668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99133610)-sin(0.99130985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547572356853518-0.547594321571198)×R²
    abs(-0.21859226--0.21864020)×2.19647176796789e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19647176796789e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19647176796789e-05×40589641000000     		ar = 27970.0197758444m²