Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60975 / 33315
↖ ↑ ↗
← N 65.907260°
W 12.527161°		 ← 124.68 m → N 65.907260°
W 12.524414°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
N 65.906139°
W 12.527161°		 ← 124.68 m →
15 545 m²		 N 65.906139°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465206146240234 y=0.254177093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465206146240234 × 217)
    floor (0.465206146240234 × 131072)
    floor (60975.5)     		tx = 60975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254177093505859 × 217)
    floor (0.254177093505859 × 131072)
    floor (33315.5)     		ty = 33315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60975 / 33315 ti = "17/60975/33315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60975/33315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60975 ÷ 217
    60975 ÷ 131072     		x = 0.465202331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33315 ÷ 217
    33315 ÷ 131072     		y = 0.254173278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465202331542969 × 2 - 1) × π
    -0.0695953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21864020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254173278808594 × 2 - 1) × π
    0.491653442382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.54457484265783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21864020} λ = -0.21864020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54457484265783))-π/2
    2×atan(4.68597892510084)-π/2
    2×1.36054750716759-π/2
    2.72109501433518-1.57079632675     		φ = 1.15029869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21864020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.527161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15029869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.907260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60975 KachelY 33315 -0.21864020 1.15029869 -12.527161 65.907260
    Oben rechts KachelX + 1 60976 KachelY 33315 -0.21859226 1.15029869 -12.524414 65.907260
    Unten links KachelX 60975 KachelY + 1 33316 -0.21864020 1.15027912 -12.527161 65.906139
    Unten rechts KachelX + 1 60976 KachelY + 1 33316 -0.21859226 1.15027912 -12.524414 65.906139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15029869-1.15027912) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15029869-1.15027912) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21864020--0.21859226) × cos(1.15029869) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408214789205145 × 6371000     		do = 124.679304071916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21864020--0.21859226) × cos(1.15027912) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		du = 124.684760533029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15029869)-sin(1.15027912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408214789205145-0.408232654304245)×R²
    abs(-0.21859226--0.21864020)×1.78650991004559e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78650991004559e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78650991004559e-05×40589641000000     		ar = 15545.4143884344m²